14 TH. SKOLEM. M.-N. Ki. 
sumtion ax — 6 jede Lösung x, die in keiner umfassenderen Lösung ent. 
halten ist. Es ist dann leicht zu sehen, dafs wenn die Subsumtion eine Maximal- 
lüsung besitzt, jede Lósung in dieser enthalten sein mufs. Essei x, eine Maxi- 
mallósung und x, eine in x, nicht enthaltene Lösung Dann müßte auch 
a(x, + xo) XC b sein, weil a (xy + xs) = ax, + axe, ax, Sb und ax <b 
sein sollte. Dies ist aber ein Widerspruch; denn x, 4- x» würde dann 
eine umfassendere Lósung der Subsumtion werden als x;, wáhrend x, a's 
maximale Lósung vorausgesetzt war. 
Ist der Klassenring endlich, muß andererseits mindestens eine maxi- 
male Lósung existieren. Es gibt also in dem Falle eine Lósung, die jede 
Lösung enthält. Eine solche Lösung kann man wohl passend eine All- 
lösung nennen. Entsprechend werde ich im folgenden eine Lösung, die 
in jeder Lösung enthalten ist, eine Nulllósung nennen. 
Hierdurch ist das Theorem bewiesen. 
Dual entsprechend gilt natürlich auch der folgende Satz: 
Theorem 6:. Wenn innerhalb eines Klassenringes die Subsumtion 
a<b+x für beliebige Werte von a und b eine Null-lisung x, besitzt, so 
ist (a 4-5) (a+c) = a+ be (und infolge Th. 2 also auch a(b+c) — ab ac) 
für beliebige Werthe von a, b und c. 
Ist der Klassenring endlich, gilt auch die Umkehrung. 
Diejenigen Klassenringe, innerhalb welcher die Subsumtion ax << 6 
immer eine Lósung x, besitzt, die jede Lósung derselben enthält, und zu- 
gleich die Subsumtion a — 6 + x immer eine Lösung x, hat, welche in 
jeder Lósung derselben enthalten ist, sind dadurch von besonderem Interesse, 
dafs sie eine natürliche Fortsetzung und Verallgemeinerung der Gruppen 
des identischen Kalkuls bilden. Es wird sehr passend sein die All-lósung 
von ax <b als : und die Null-lósung von a — b+x als a—6 zu schrei- 
ben. Man erhält dann einen Kalkul mit 4 Spezies: Addition, Multiplika- 
tion, Subtraktion, Division. Ich gebe hier die wichtigsten Gesetze dieses 
Kalkuls; doch erwähne ich hauptsächlich Gesetze, die nicht schon im 
identischen Kalkul vorkommen. 
Theorem 7. Innerhalb eines Klassenringes, in welchem für beliebige 
b É nts 
Werte von a und b Klassen s: und a—b der Beschaffenheit existieren, daß 
(Gio) — (s <= - und (a<b+x) = (a— b xXx) ist, gelten folgende 
Gesetze : 
