I9I9. No. 3. UNTERSUCH. ÜBER DIE AXIOME DES KLASSENKALKULS. 17 
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Aus a) und §) folgt rt Th d. h. wir kommen zum identischen 
Kalkul zurück. Wenn also der betrachtete Klassenring keine Gruppe in 
Bezug auf alle drei Operationen des Gebietekalkuls sein soll, so kann in 
den Formeln 10x und 10:, Th. 7, nicht immer das Gleichheitszeichen 
gültig sein. 
Man kann weiter fragen, ob für gewisse Klassenringe in den Formeln 
6x, 64, 9«, 9: das Gleichheitszeichen immer gültig sein kann. Natürlich 
ist dies der Fall für Gruppen in Bezug auf die drei Spezies des iden- 
tischen Kalkuls. Es gibt aber viele andere davon gänzlich verschiedene 
Beispiele. (Vergl. den Schlufs dieses Paragraphen). 
Es besteht ein sehr bemerkenswerter Zusammenhang zwischen der 
X m até a De. i : : 
Gültigkeit der Formel E zu — = einerseits und der Existenz einer 
All-lésung der Subsumtion — < 8 andererseits genau so, wie die Gültig- 
a = 
keit der Formel a (6 + c) — ab + ac mit der Existenz einer alle anderen 
enthaltenden Lösung der Subsumtion «x < B8 verknüpft war (Th. 6x). Wi 
haben in der Tat den folgenden Satz: 
Theorem 8: Wenn innerhalb eines Klassenringes! jede Subsumtion 
p. J 
E < B, die überhaupt lösbar ist, eine All-lósung besitzt, so gilt die Glei- 
chung zx = 5 a - für beliebige Werte von a, b und c. 
Ist der Ring endlich, gil! auch das umgekehrte. 
Beweis: Wenn jede lósbare Subsumtion * <8 eineAll-losung besitzt, 
PE 
so hat die Subsumtion = E = + eine All-lösung xo; denn sie ist ja 
lösbar, da x = a und x = 5 Lösungen sind. Es ist deshalb a < xy und 
ó — xo, d. h. a+ à zi xo, woraus nach 3x Th 7 == = Ea pa ets 
c use fs 
b a+b a b a b _a+b 
—, folgt —— < — —. : — + —< —— 
— z fo gt * < = -—— E Nun besagt aber 9x Th. 7, daf s es 
; a a SO a ,-6 
t; folglich ist —— — —-+-. 
ist; folglich is 5 E "dus 
! Es wird hier natürlich vorausgesetzt, daß die Division innerhalb des Ringes stets 
ausführbar ist. 
Vid.-Selsk. Skr. I. M.-N. Kl. 1919. No. 3. 
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