18 TH. SKOLEM. M.-N. KI. 
Eo NT a+b 
Gehen wir jetzt umgekehrt von der Gültigkeit des Gesetzes Zu == 
a b : : . MOST ^ 
— + — aus. Dann muß eine Maximallósung der Subsumtion — — f eine 
C C a 
All-ldsung sein. Es sei nämlich x, eine maximale Lösung und x, eine 
darin nicht enthaltene andere Lösung. Dann folgt aus ^! <ßinVerbindung 
a = 
< B sein muß. Es müßte also auch 
ee et 
a= a at a 
x + x, eine Lösung der Subsumtion sein, und sie wäre umfassender 
als x, während x, doch als maximal vorausgesetzt war, was ein Wider- 
spruch ist. 
Ist das gegebene System von Klassen endlich, müssen aber notwen- 
dig maximale Lésungen existieren. Es gibt also in diesem Falle immer 
eine All-lósung. 
Dual entsprechend gilt der folgende Satz: 
Theorem 8,. Wenn innerhalb eines Klassenringes! jede Subsumtion 
«-x-——B, die überhaupt lösbar ist, eine Null-lösung besitzt, so gilt die 
Gleichung ab — c — (a — c) (b — c) für beliebige Werte von a, b und c. — 
Ist der Ring endlich, gilt auch die Umkehrung. 
Der Beweis geschieht genau dual entsprechend dem Beweise für Th. 8x. 
Es gelten aber auch die folgenden analogen Sätze: 
Theorem 9x. Wenn jede lüsbare Subsumtion x < p eine Null-lösung 
É : a C C C : 
besitzt, so ist für beliebige Werte von a, b und c, 5 4. Em Wenn die 
Zahl der Klassen endlich ist, gilt auch das umgekehrte. 
Theorem 94. Wenn jede lösbare Subsumtion a = B— x eine Al- 
lösung besitzt, so gilt die Gleichung (c — a) (c — b) — c — ab für beliebige 
Werte von a, b und c. Ist der Klassenring endlich, gilt auch die Um- 
kehrung. 
Da der Beweis dieser Sätze dem Beweise von Th. 8 genau analog 
verläuft, brauche ich ihn wohl nicht aufzustellen. 
In derselben Weise wie die All-lösung der Subsumtion ax< 6 
und die Null-Jösung der Subsumtion a < b + x bezw. zu den 
neuen Knüpfungen Division und Subtraktion führten, geben die 
1 Hier wird natürlich vorausgesetzt, daß die Subtraktion stets ausführbar ist. 
