1919. No. 3. UNTERSUCH. ÜBER DIE AXIOME DES KLASSENKALKULS. I9 
All. und Null-lésungen der Subsumtionen - <b, a<b— x, i dj 
j i kar 
a-x —b zu neuen Knüpfungen Anlaß. Man könnte z. B. die All-lösung 
der Subsumtion : < 6 durch das Symbol a : 6 bezeichnen, die Null-lésung 
a 
von — <6 durch © usw. Ich will doch hier diese Sachen nicht näher 
verfolgen. 
Zuletzt móchte ich aber einige Beispiele von Systemen von Klassen 
erwähnen, innerhalb welcher die 4 Operationen: Multiplikation, Addition, 
Division, Subtraktion, immer ausführbar sind, und auferdem die Sub- 
sumtionen : < 6, a<b—x, falls sie überhaupt lösbar sind, eine All- 
É ; a 
lósung haben, und endlich die Subsumtionen at b, a>x—b immer 
eine Null-lösung haben, wenn sie überhaupt Lösungen besitzen. Das ein- 
fachste Beispiel ist ein System von Klassen, die ihrem Umfange nach eine 
linear geordnete Reihe darstellen, wo jede Klasse eine unmittelbar vorher- 
gehende und eine unmittelbar nachfolgende besitzt, während ein erstes 
Glied der Reihe, die Nullklasse, und ein letztes Glied, die Allklasse, vor- 
kommen. 
Es gilt also dann die Aussage (a < b) + (à = a) für zwei beliebige Klassen des Sy- 
stems. Weiter gibt es für jede Klasse a eine Klasse a', sodaß a’ — a, und gleichzeitig für 
jede Klasse a" die Aussage (a" <a‘) + (a <a“) gültig ist; endlich gibt es für jedes a 
eine Klasse aj, sodaß erstens a — ay ist, und zweitens für jedes a» die Aussage (ag = a) + 
(a, = a») wahr ist. 
Daß innerhalb eines solchen Klassensystems die genannten 4 Opera- 
tionen immer ausführbar sind, ist sehr leicht zu sehen. Es folgt ja dies so- 
b : 
fort daraus, dafs für a — 6, — — I und a — à — o ist, für a >6 dagegen 
x i 
: — b, a— b — a. Daß die Subsumtion - — b innerhalb eines solchen 
Klassensystems eine All-lésung besitzt, kann in folgender Weise gezeigt 
werden. Ist ó — 1, ist x — ı selbstverständlich die All-lósung. Ist 5 — r, 
so muß x<a sein; denn aus x — a folgt ja —— 1. Wenn aber x«a 
= a 
ist, so wird — — x; also wird die Subsumtion zu «=< 6 reduziert. Ist 
» = 
dann 5 <a, wird x — 6 die All-lüsung. Ist a — à, besteht die hinreichende 
und notwendige Bedingung für die Existenz einer All.lósung darin, dafs a 
einen unmittelbaren Vorgànger besitzt, was wir eben vorausgesetzt haben. 
