20 TH. SKOLEM. M.-N. KI. 
Für die Subsumtion . — b sieht man, daß x = o die Nullösung ist, 
wenn  — I. Ist dagegen ó «Tr, so muß @< x.sein. Daun “wird 
a ; 
— == a, sodaß die Subsumtion sich zu a — 6 reduziert, was die Bedingung 
x = 
der Lósbarkeit darstellt. Ist diese erfüllt, besteht die notwendige und hin- 
reichende Bedingung für die Existenz einer Null-lösung darin, daß unter 
allen x, für welche a «x ist, ein x gibt, das als Unterklasse in jedem 
dieser x enthalten ist, d. h. daß a einen unmittelbaren Nachfolger besitzt, 
was wir auch vorausgesetzt haben. 
Dual entsprechend können die Subsumtionen a<b—x, a<x—b 
behandelt werden. 
Von dieser 'einfachsten Gattung von Klassensystemen, innerhalb wel- 
cher die 4 Operationen unbeschränkt ausführbar sind, und die genannten 
Subsumtionen All- und Null-lösungen besitzen, lassen sich durch ein ge- 
wisses Kompositionsverfahren, das ich angeben will, kompliziertere Sy- 
steme derselben Eigenschaften ableiten. 
Theorem 10. Sind G und H zwei Klassenringe, die Allklassen und 
eine gemeinsame Nullklasse besitzen, während das Produkt von jeder Klasse 
g in G und hin H immer dieser Nullklasse gleich ist, dann bilden die 
Summen g + h wieder einen Klassenring GH. Sind Division und Sub- 
traktion sowohl innerhalb G wie innerhalb H unbeschränkt ausführbar, so 
sind sie auch innerhalb GH unbeschränkt ausführbar. Extstieren sowohl 
innerhalb G als innerhalb AH sowohl All- als Null-lüsungen der Subsum- 
; x a 
tronen = <b,a<b—x, —- <b, a-x-— b, so kommen solche auch 
= = x = = 
innerhalb GH immer vor. 
Ein dual entsprechendes Theorem gilt natürlich auch. 
Daß die Summen g + / einen Ring bilden, sieht man fast unmittel- 
bar. Die Richtigkeit der übrigen Behauptungen des Theorems folgt leicht 
aus den Formeln : 
h o h 
z D um = + js (£1 + 41) — (ga + 7s) = (e — 82) + (Mi — A) 
wo g; und gy zwei beliebige Elemente von G, /, und # zwei beliebige 
Elemente von /7 bedeuten. Ich begnüge mich deshalb hier der Kürze 
halber mit einem Beweis dieser Formeln. 
Es sei g+h eine beliebige Klasse, die Element von GA ist, 
indem g zu G und A zu 77 gehört. Dann haben wir 
