1919. No. 3. UNTERSUCH. ÜBER DIE AXIOME DES KLASSENKALKULS. 2I 
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(e+ hx er er) — ((g + A) (go + 0) <a +) = (Le + Iis gt M). 
Durch Multiplikation auf beiden Seiten mit gg» erhält man aus gg + 
hh, — g1 + h; die Subsumtion gg» < g1. Entsprechend erhält man hh, < hy 
durch Multiplikation mit AM. Aus (gg < 81) (thy — M) folgt aber umge- 
kehrt 99» + M — 2; + hu. Folglich ist 
. - for / 
(gg. + hy — m +h) = (882 &) E < hy) = hid < i : <}). 
h 4 
^l Hieraus: 
ho 1 
Si + hy T Si “a hy 
Ltn & he 
Die andere Formel beweist man in genau derselben Art. 
Man kann auch auf viele andere Weisen, die ich aber hier nicht er- 
wähnen will, Klassensysteme konstruieren, innerhalb welcher die 4 ge- 
nannten Operationen stets ausfürbar sind, während die 4 genannten Sub- 
sumtionen All- und Null-lósungen haben. 
S 3. 
Im folgenden sei ein Klassenring Æ gegeben, innerhalb welches die 
distributiven Gesetze der Multiplikation und der Addition erfüllt sind.! 
Das Problem, das hier behandelt werden soll, ist die Frage: Wann ist 
eine Aussage über gewisse Klassen a, 6, c ... allgemeingültig, d. h. für 
beliebige Werte von a, 5, c, ... gültig, und wann nicht? Unter «Aus- 
sagen» verstehe ich natürlich Aussagen, die durch die drei Operationen 
des Aussagenkalkuls aus Subsumtionen aufgebaut sind.? 
Durch Ausführung aller Aussagennegationen und Anwendung der distri- 
butiven Gesetze der Aussagenmultiplikation und -addition läßt sich jede 
solche Aussage als ein Produkt von Summen von Subsumtionen und Un- 
subsumtionen darstellen. Ein Aussagenprodukt ist aber immer dann und 
nur dann allgemeingültig, wenn jeder Faktor allgemeingültig ist. Wir 
1 Ich setze auch voraus, daß der Ring nicht bloß aus einer einzigen Klasse besteht. 
Es gibt dann, wie man leicht erkennt, sicher zwei Klassen a und 6, sodaß a — b ist. 
? Da hier die Existenz von Negationen nicht vorausgesetzt wird, und die Begriffe ,Pro- 
dukt® und „Summe“ relativ zu R zu verstehen sind (vergl. Anfang S 2), so ist dieses 
Probl:m gar kein Spezia'fall des entsprechenden Problems des identischen Kalkuls. 
