1919. No. 3. UNTERSUCH. ÜBER DIE AXIOME DES KLASSENKALKULS. 25 
Wenn Fall 1 nicht eintreten soll, so muß kein a unter den 5 vor- 
kommen; weiter muf3 mindestens ein « existieren, das nicht unter den a 
vorkommt, oder mindestens ein 9, das nicht unter den 6 vorkommt, und 
endlich muß mindestens ein «' existieren, das nicht unter den a auftritt, 
oder mindestens ein 8°, das nicht unter den Symbolen 5 auftritt. 
Setzen wir erstens voraus, daß ein «, z.B. a, nicht unter den Sym- 
bolen a und zugleich ein «', z.B. a, auch nicht unter den a vorkommt. 
Bedeuten wie früher A und B zwei Klassen, für welche die Relation 
A < B stattfindet, so können wir jedes a gleich 5, jedes 5 und außer- 
dem auch & und «, gleich A setzen, während alle übrigen Symbole nach 
Belieben = A oder — B gesetzt werden können. Dann sind sowohl 
les. au < p, + p» + ... SE de wie a, …. Bo EB. +- alle + 
erfüllt, dagegen aja, ... à, <0, + ... + bn nicht erfüllt. — Genau 
ebenso geht es, wenn auf einmal mindestens ein 9 und mindestens ein 8" 
existieren, die nicht unter den Symbolen 5 vorkommen. 
Dann haben wir noch den folgenden Fall zu betrachten: Es gibt 
ein a, z.B. a, das nicht unter den a vorkommt, während jedes «' unter 
den Symbolen a auftritt; weiter gibt es ein 8', z. B. 81, das nicht unter 
den Symbolen 5 vorkommt, während jedes B unter den 6 vorkommt. Dieser 
Fall spaltet sig wieder in zwei Unterfälle: Entweder ist es möglich f, ver- 
schieden von a; zu wählen, oder das ist nicht möglich. Im ersten Fall 
können wir jedes a = B, jedes 6 — A, ay = A und f, = B wählen (alle 
anderen Symbole — A oder = B nach Belieben), wodurch «, ... «, € fl 
See Py sad spo. eB ic B,, gültig werden, während 
U .-. Am < D + ... + dp ungültig wird. Im zweiten Fall kann bloß 
ein a, also nur e,, existieren, das nicht unter den Symbolen a vorkommt; 
ebenso kommt jedes von f, = a, verschiedenes Symbol 3° unter den Sym- 
bolen 5 vor. Die Subsumtionen haben dann das Aussehen: 
Hi: Gyn € D3-... d- dy, Gr, ce de, Sb +... + be, 
Pal ONG For =< Du ... t 5, — 1, 
d. h. wir haben den im Theorem erwåhnten Fall 2, und wir haben ge- 
sehen, dafs die erste Subsumtion dann aus der gleichzeitigen Gültigkeit 
der beiden anderen folgt. 
Endlich müssen wir den Fall betrachten, da jedes « unter den Sym- 
bolen a, jedes j' unter den 5 vorkommt, während mindestens ein «' nicht 
unter den a und zugleich mindestens ein f nicht unter den 5 auftreten. 
