26 TH. SKOLEM. M.-N. KI. 
Dieser Fall geht aber aus dem zuletzt behandelten durch Vertauschung 
von den « mit den «’ und den f mit den 8’ hervor. Das Resultat wird 
deshalb dasselbe: Die Subsumtion a, ... dm < 6; + ... + dn folgt dann 
und nur dann aus den beiden anderen, wenn diese die im Fall 2 des 
Theorems angegebene Form haben. 
Hiermit ist das Theorem bewiesen. 
. Man kann nun natürlich weiter fragen, wann eine Subsumtion aus 
drei, vier usw. anderen folgt. Da aber die Behandlung dieser Fragen 
sich kaum kurz fassen läfit, gehe ich hier nicht darauf ein. 
Statt zu untersuchen, wann eine gegebene Aussage gültig ist für be- 
liebige Werte von allen vorkommenden Klassensymbolen, kann man auch 
untersuchen, wann sie gültig ist für beliebige Werte von einigen dieser 
Symbole, indem die Werte der übrigen Symbole festgehalten werden 
sollen. Wir müssen also dann zwischen Variabeln und Konstanten (oder 
Koeffizienten) unterscheiden, und die Frage wird, welche Bedingung die 
Konstanten erfüllen müssen, damit die Aussage für beliebige Werte der 
Variabeln gelte. 
Ich will hier voraussetzen, daß im gegebenen Aussagenausdruck bloß 
eine Variable vorkommt. Es soll also das Produkt 77 U(u) untersucht wer- 
den, wo Ul(u) eine Aussage ist, die durch die drei Operationen des Aus- 
sagenkalkuls aus Subsumtionen aufgebaut ist, wobei die Subjekte und die 
Prädikate dieser Subsumtionen durch Multiplikation und Addition von 
Klassensymbolen (unter welchen 4 vorkommt) aufgebaut sind. Die von # 
verschiedenen Klassensymbole sind die Konstanten (Koeffizienten). Jeder 
Ausdruck, der durch Multiplikation und Addition aus # und Konstanten 
aufgebaut ist, läßt sich nun in der Form a4 + 6 oder auch in der Form 
a(u + b) darstellen, wo a, 6, a, 8 von u unabhängig oder konstant sind. 
Wir haben ja au + b — (a + 6) (u + 6), und daraus sieht man sehr leicht, 
daß die Summe und das Produkt zweier solcher Ausdrücke wieder einem 
solchen gleich ist, wodurch bewiesen ist, daß jede Funktion von # sich in 
den genannten beiden Formen schreiben läßt. Jede in U(u) vorkommende 
Subsumtion ist deshalb von der Form au -4- 46 — c(u + d). Diese ist aber 
gleich 
(au x c) (b x u 4- d) (5 c). 
Wir können deshalb sagen, da U(u) durch die 3 Operationen des 
Aussagenkalkuls aus Subsumtionen der drei Formen au — à, a <u+b, a b 
aufgebaut ist. 
