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1910. No. 3. UNTERSUCH. ÜBER DIE AXIOME DES KLASSENKALKULS. 
Durch Ausführung aller Negationen und Anwendung der distributiven 
Gesetze läßt sich U(n) als ein Produkt von Summen von Subsumtionen 
und Unsubsumtionen der drei Formen schreiben. Um ZI U(u) zu finden 
u 
hat man dann JJ von jedem Faktor zu finden. Es kommt also alles dar- 
u 
auf an JJ von einer Summe von Subsumtionen und Unsubsumtionen zu 
u 
finden. In den meisten Fällen kann von einer Auswertung dieses Pro- 
duktes keine Rede sein; es gibt aber ein Paar einfache Fälle, die ich hier 
besprechen móchte. 
Setzen wir erstens voraus, daß die Summe nur ein Glied hat, und 
daß dieses eine Subsumtion ist. Wir haben also dann entweder /I(au — b) 
u 
oder II (a< b 4-w) oder II(a < 6). Das letzte Produkt ist natürlich 
u u 
— (a <b). Weiter ist auch 
II (au = 6) = (a x: 5b) und Ir(a x: b 4- v) = (a xà). 
Denn soll au < b sein für beliebige Werte von #, so gilt auch aa < 5, 
d.h. a — à. Umgekehrt, wenn a <b ist, so gilt au — 5 für beliebige 
Werte von #. Entsprechendes gilt für a<d+u. Es gelingt deshalb 
auch immer IT U(u) auszuwerten in denjenigen Fällen, da U(u) ein Pro- 
u 
dukt von Subsumtionen ist. 
Setzen wir zweitens voraus, daß unter dem Zeichen // eine Summe 
u 
S(u) von lauter Unsubsumtionen steht. Wir können dann lieber die Nega- 
tion der Aussage Z1S(u) betrachten, d.h. ¥ S{w). Hier ist dann .S(u) 
ein Produkt von Subsumtionen, und da Subsumtionen der Form a < 6, 
die von # unabhängig sind, sofort vor den X-Zeichen gestellt werden kón- 
nen, so können wir voraussetzen, daß S(u) = P,(u) P.(u) ist, wo Pi(u) 
ein Produkt von Subsumtionen der Form au <b, Ps(u) ein Produkt von 
Subsumtionen der Form a< £ + u ist. | 
Eine wirkliche Auswertung jeder solchen Summe X Pılu) Pau) ist 
u 
nun, wie ich bald zeigen soll, immer móglich innerhalb eines Klassenrin- 
ges, wo Division und Subtraktion ausführbar sind; sonst ist sie wohl 
kaum móglich. Aber auch im allgemeinsten Falle gelingt eine Umformung 
der Summe, wodurch sie auf Summen der Form X (au — 5) (c << d 4- u), 
u 
wo also nur ein Subsumtionenfaktor jeder Art vorkommt, zurückgeführt 
wird. Wir haben in der Tat den folgenden Satz: 
