30 TH. SKOLEM. M.-N. KI. 
Unter »einfache« oder »ursprüngliche« numerische Aussagen, eine 
Klasse a betreffend, kónnen wir Aussagen verstehen, die sprachlich 
so ausgedrückt werden: Es gibt mindestens » Dinge, welche zur Klasse a 
gehören; es gibt höchstens #7 Dinge in der Klasse a. Diese Aussagen 
können passend num. a — s bezw. num. a <n geschrieben werden, wo 
num. a die Zahl der Dinge a bedeutet. Ich ziehe es aber hier vor diese 
Aussagen kürzer einfach a>n bezw. a <n zu schreiben, indem der 
Buchstabe # (eventuel mit Indizes) immer eine Zahl bedeuten soll, nicht 
eine Klasse. Unter einer numerischen Aussage überhaupt verstehe ich 
jede Aussage, die durch die drei Operationen des Aussagenkalkuls aus den 
ebengenannten einfachen numerischen Aussagen aufgebaut werden kónnen. 
Es verdient bemerkt zu werden, daf sowohl Subsumtionen wie Un- 
subsumtionen Spezialfälle der numerischen Aussagen sind. Denn es ist 
ja (a X &) = (ab = o) und (a <|6) = (ab > o). 
Theorem 15a. Die Summe X Uu), wo Ulu) eine numerische Aussage 
n 
ist, die sich auf die variabele Klasse u außer eventuel anderen konstanten 
Klassen a, b, c, ... bezieht, ist immer. gleich einer numerischen Aussage 
U(a, b, c, ...), welche die konstanten Klassen allein betreffen. (Sind keine 
konstanten Klassen vorhanden, ist X U(u) natürlich entweder eine Tauto- 
u 
logie oder ein Widerspruch, und die Überlegungen des folgenden Beweises 
gibt ein Mittel zu entscheiden, ob das eine oder das andere stattfindet. 
Ich sehe übrigens hier von diesem trivialeren Fall ab.) 
Beweis: Jede in Ul(u) auftretende einfache numerische Aussage ist 
von der Form A>n oder von der Form A <x, wo n eine ganze nicht- 
negative Zahl ist, während A ein Klassenausdruck ist, der durch die drei 
identischen Spezies aus einfachen Klassensymbolen, teils konstanten a, £,c, ... , 
teils #, aufgebaut ist. Jeder solche Ausdruck läßt sich aber in Boore’scher 
Weise entwickeln. Es wird dann d= A,+ K+ ..., wo Kj, Ks. 
gewisse Konstituenten in der Entwickelung von 1 nach den Klassen a, 6, c, 
., u sind. Diese Konstituenten sind untereinander disjunkt, und infolge- 
dessen wird es möglich sein jede der Aussagen A>n oder A < z in 
Ausságen der Formen K Sn, K<n, wo K ein Konstituent ist, aufzu- 
spalten. Dies geschieht mit Hülfe des folgenden Lemmas, dessen Richtig- 
keit unmittelbar einleuchtet : 
