1919. No. 3. UNTERSUCH. ÜBER DIE AXIOME DES KLASSENKALKULS. 31 
Hilfsatz 1. Sind a und 6 disjunkte Klassen, so besteht die Gleichung 
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(a+ 5 n) = (a 2 n) + (a n— 1)(b 2-1) Ha >n—2)b>2)+... 
+ (aZ1)(bZn—1) + (6 =n), 
aus welcher man durch Ersatz von » mit # + 1 und beiderseitiges Negi- 
eren auch folgende Gleichung erhält: 
(a + 6 xi n) -—(a Ln)((a x m — 1) -- (6 x 1)) 
((a < x) + (0 xin — 1)) (6 < n). 
Nach diesem Satz wird es dann móglich sein sowohl jede Aussage 
Ki + K> +... Zn wie jede Aussage Ki + K,+ ... < ^ in Aussagen 
der Formen K =n und K< nm zu zerlegen. Der gegebene Aussagenaus- 
druck läßt sich deshalb mit Hülfe der drei Operationen des Aussagenkal- 
kuls aus Aussagen der beiden Formen K =n und K < aufbauen. Da 
aber die Verneinung von K Zn die Aussage K <n— 1 ist, und die 
Verneinung von K <n die Aussage K n + 1 ist, so kann U(u) durch 
Ausführung aller Negationen als eine Summe von Produkten dargestellt 
werden, wobei jedes Produkt nur Aussagen der Formen K > 7 und 
K Xn als Faktoren enthält. Setzen wir demgemäß Ulu) = Bw) + ... 
+ Ba (u), wo Bı ... Ba die Produkte sind, so haben wi: 
X Uu) = 2 V, (2) + x9$(u) +... + x (o). 
Betrachten wir deshalb jetzt X P(u), wo P(u) ein Produkt von Aus- 
sagen der beiden Formen K =n, K<n ist. Jeder Konstituent K ist 
entweder von der Form £u oder von der Form kit, wo & ein Konstituent 
in der Entwickelung der Allklasse in Bezug auf die konstanten Klassen 
a, b, C, ... ist. Es ist deshalb P(w) ein Produkt von Faktoren der vier 
Formen ku Zn, ku<n, ki =n, kü<n. Weiter können wir 
Ale), SE T5) ... Pate) 
setzen, wo P,(u) alle Faktoren von (x) enthält, wo der Konstituent %, 
auftritt, Po(u) alle Faktoren von Piz) enthält, wo der Konstituent £j auf- 
tritt, usw. Es ist dann: 
Hilfsatz 2: Dux us x Pla). Re] 
u u 
