1919. No. 3. UNTERSUCH. ÜBER DIE AXIOME DES KLASSENKALKULS. 35 
wird. Dann läfit sich X U/'(u, v) ausführen; es bleibt bei dieser Summa- 
v 
tion 4 konstant, sodaß wir X U/!(u, v) = U?(u) erhalten, wo U2(u) eine 
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numerische Aussage über # und a, à, c, ... ist. Endlich wird 71? (x) 
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eine numerische Aussage, welche die Klassen a, 5, c, ... allein betrifft. 
Es ist klar, dafs dieses Verfahren auch in allen anderen Fällen móg- 
lich ist, wodurch Theorem 15 b bewiesen ist. 
Wir haben bisher bloß Summationen und Produktationen betrachtet, 
die über alle Klassenwerte # überhaupt ausgedehnt waren. Statt dessen 
kann man natürlich auch Summationen und ‘Produktationen auszuführen 
suchen, welche nur über diejenigen Werte einer variablen Klasse # aus- 
gedehnt werden, die eine Bedingung erfüllen. Es ist aber leicht zu sehen, 
dafs wenn diese Bedingung auch eine numerische Aussage ist, die Pro- 
duktation oder Summation sich sofort auf die vorher behandelte uneinge- 
schränkte Produktation oder Summation zurückführen läßt. Soll man z. B. 
Z'U,(u) finden, wo der Strich beim X-Zeichen bedeutet, daf die Summa- 
tion nur über diejenigen Werte von # ausgedehnt werden soll, für welche 
eine zweite numerische Aussage U,(u) stattfindet, so hat man X U4(u) = 
ZU, (u) Us(u), wo die Summation über alle Werte von # ausgedehnt wird. 
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Ich will hier einen Spezialfall davon besonders hervorheben. Dafs 
eine Klasse 7 ein Individuum ist, kann durch die numerische Aussage 
(¢ = 1) (¢ <1) ausgedrückt werden. Infolgedessen werden Produktationen 
und Summationen in Bezug auf variable Individuumsymbole immer zu 
numerischen Aussagen über die von diesen Symbolen unabhängigen Klassen- 
symbole führen. Wir haben also: 
Theorem 16. Es sei U(ij,...) eine numerische Aussage, die 
gewisse variable Individuen 1, j,... und gewisse konstanten Klassen a, b, c, ... 
betrifft. Es ist dann möglich Produktationen und Summationen in Bezug 
auf i, j, ... auszuführen, indem also i, j, ... unabhängig von einander 
alle Individuen des Denkbereiches durchlaufen, und das Ergebnis ist eine 
numerische Aussage über die konstanten Klassen a, b, c, .. 
Dies ist dadurch von besonderem Interesse, daß man hieraus leicht 
folgenden Satz ableiten kann: 
