4 VIGGO BRUN. M.-N. KI. 
I 
B = q.d — I 
VA + — 
92 
Da værdien av % ligger mellem de to tilnaermelsesbrekers, blir den 
geometriske betydning herav et gitterpunkttriangel (o, 0), (xa, yn), (xni, 
Jn41) som gjennemskjæres av linjen y = kx, og hvis flateindhold er 1/3. 
Kjender man et saadant triangel OAS, kan man let bestemme et 
til, OBC, ved at utfylde triangelet OAB til et parallelogram OACB og 
saa dele dette i to nye triangler ved at trække diagonalen OC. Det av 
de to nye triangler, hvorigjennem linjen y = £x gaar, har da samme 
egenskap som det oprindelige triangel. Saaledes kan man da bestemme 
en hel række av den slags triangler. 
PoıncARE benytter sig herav til sin generalisation. Istedenfor planet 
betragter han rummet med dets »gitterpunkter«. Trianglerne erstattes med 
tetraedere. Lad linjen y — £x, z = hx skjere gjennem et gitterpunkt- 
tetraeder, OABC, av volum 1/4. PoiNcARÉ bestemmer da et nyt tetraeder 
med samme egenskaper, idet han først av tetraederet OABC danner et 
parallelepiped ved gjennem 4, B og C at legge planer parallele med de 
motstaaende sideflater i tetraederet OABC. Derpaa deler han parallel- 
epipedet i 6 tetraedere, som alle har sin spids i origo. Av disse 6 tetra- 
edere vælger han saa det, som gjennemskjares av den givnelinje y — £x, 
z — hx. Derved er han istand til at bestemme en hel række av tetra- 
edere med samme egenskap. En aritmetisk behandling av problemet ferer 
til en enkel algoritme, som er en generalisation av EuxLips algoritme. 
Som man ser, maa PoiNcanÉ regne med 6 muligheter ved overgangen fra 
et tetraeder til det næste, mens der i planet ved overgangen fra et tri- 
angel til det næste foreligger to muligheter. 
Den generalisation, som jeg i det felgende skal utvikle, bygger paa 
den samme tanke som PoiNcaRÉs. Den skiller sig blandt andet fra denne 
derved, at jeg regner med 3 muligheter ved overgangen fra et tetraeder 
til det næste. Dette er av væsentlig betydning, ikke mindst ved studiet 
av de kubiske irrationaliteter. 
De tre muligheter som foreligger betegner jeg med bokstaverne a, 6 
og y. Til hver linje i rummet y = £x, 2 = hx svarer der da en bok- 
stavrække, bestaaende av bokstaverne «, B og y, som træder istedenfor 
kjedebreksutviklingen. 
For bedre at klargjere betydningen av en saadan bokstavrække, skal 
vi ferst vise, hvorledes man i et langt enklere tilfælde kan gjere bruk av 
en saadan. 
