1919. No. 6. EN GENERALISATION AV KJEDEBROKEN. 13 
mindre end e. En gjentagen subtraktion av den mellemste fra den største 
vil da tilslut fore til, at den største størrelse blir mindre end ez. Dermed 
er beviset fuldstaendig. 
PorncarEs algoritme har ikke denne egenskap. 
Heller ikke den algoritme, som kan utledes av den generalisation, 
som er antydet paa side 7. 
Hvis en av sterrelserne i algoritmen blir o, vil den fortsaette som en 
EukLips algoritme med veksling av bokstaverne « og f, mens y ikke mere 
vil forekomme. 
Denne Euxrip'ske algoritme kan da enten stanse, idet et led til antar 
værdien o, eller den kan fortsaette i det uendelige. 
La os se paa den geometriske betydning herav. 
Hvis linjen y = kx, 2 — hx definerer en uendelig bokstavraekke, som 
fra et visst punkt av mangler y, vil det si, at linjen ligger 1 et plan, som 
foruten gjennem origo gaar gjennem to (og dermed uendelig mange) gitter- 
punkter, mens linjen selv ikke gaar gjennem andre gitterpunkter end origo. 
En av algoritmens led maa jo være o, f. eks.: 
[B h 
c=|X,YıZı| =o 
X» Ya Lø 
Vi vil kalde en saadan linje en halvrational linje. Den ligger i et 
rationalt plan, men gaar ikke gjennem rationale punkter. 
Hvis derimot bokstavrækken er endelig, vil linjen y = £x, z — /ix gaa 
gjennem et gitterpunkt (og dermed gjennem uendelig mange) utenfor origo. 
Vi vil kalde en saadan linje for en rational linje. 
$.3 
Vi skal saa gaa over til at studere gitterpunkterne omkring planet 
x + ky + hz = 0 
hvor vi som for vil anta # og Ah for positive og 
pt 
Vi vil her som i forrige paragraf ta vort utgangspunkt i den plane 
betragtning av gitterpunkterne omkring en linje, idet vi varierer denne 
betragtning noget. 
Vi har hittil bare betragtet den del av linjen y = x, som ligger i 
den positive kvadrant (se fig. 5), idet vi har indesluttet den i en sammen- 
