8 Axel Gadolin. 



n'a lieu que dans le cas où Cos a est rationnel. Comme cas exceptionnel 

 nous avons encore à coneidérer celui, où il n'y a pas 5 arêtes voisines dans 

 notre pyramide, ce qui narrive que si « = 90 ou ((=120"; comme pour- 

 tant Cos 90"=: 0, Cos 120" = —^, ces cas ne peuvent pas faire exception 

 à notre théorème. 



§ 4. Il est facile de démontrer maintenant que l'angle de coïncidence 

 minimum ne peut avoir d'autres valeurs que 60^\ 90^\ 120^ ou 180^. 



D'abord cet angle doit former une partie entière de 3G0". En effet soit 

 a l'angle de coïncidence minimum correspondant à l'axe à coïncidence A que 

 nous supposons perpendiculaire au plan du papier (Fig. 4). Soit AB une 

 direction quelconque perpendiculaire à ^ et qui reste invariablement liée au 

 cristal dans sa rotation autour de Taxe A. Soient B\ B", 5'", B", B\ B'\ 

 -ß^" les positions consécutives que prend cette direction par des rotations suc- 

 cessives du cristal d'un angla « autour de l'axe A. Si « n'est pas une partie 

 entière de 360", on saura toujours trouver un entier ?^ tel que (?«— 1)«<360" 

 et ??f(>3G0". Après cela si l'on fait faire au cristal ?/ rotations consécuti- 

 ves d'un angle a autour de l'axe A toujours dans le même sens, la dernière 

 position de la direction AB, sera placée entre ses deux premières positions, 

 comme sur la figure ^"' entre B et BK Mais il est bien clair alors, que 

 pour produire la coïncidence des faces, on n'a qu'à tourner le cristal autour de 

 l'axe A d'un angle B^"AB^ moindre que «, ce qui est contraire k la supposition 

 que nous avons faite que « est l'angle de co'incidence minimum. Cette contra- 

 diction ne disjjaraît que si nous supjjosons que c. est une partie entière de 360". 



D'un autre côté il est facile de voir que Cos c< doit avoir une valeur 

 rationnelle. En effet les positions consécutives, que prend une face cristal- 

 line quelconque, inclinée sur l'axe à co'incidence, par des rotations consécu- 

 tives du cristal d'un angle c. autour de cet axe, se confondent avec les faces 

 d'une pyramide régulière d'un angle central «. Or les arêtes de cette pyra- 

 mide, étant des intersections de face cristallines possibles, sont des axes 

 cristallographiques possibles, d'où il résulte (§ 3) que Cos« ne peut avoir 

 qu'une valeur rationnelle. Dans la note B on trouve la démonstration du 

 théorème que les parties entières de 360" ne peuvent avoir des cosinus ra- 

 tionnels, que si ces cosinus ont une des valeurs 0, +^, +1' ^l'où l'on con- 

 clut que l'angle de coïncidence minimum ne peut avoir qu'une des valeurs 

 60", 90", 120" ou ISO", les angles plus grands que 180" se trouvant exclus 

 comme ne pouvant pas être des angles de co'incidence minimum. 



