10 Axel Gadolin. 



mier et qui foni avec lui des angles de 2a, il y a encore dans le même 

 plan perpendiculaire au second axe des axes de 180*^ partageant en deux 

 parties égales les angles compris entre les axes de la première espèce. 



§ 8. Un axe de 90" ne peut former avec an autre axe de 180", 90" 

 ou 60" que l'un des deux angles 90" ou 45" (ou le supplément du tleruier 

 angle). 



Soit B (Fig. 6) un axe de 90" et A un autre axe de 180", 90" ou 60". 

 Si langle ABÄ = i)0" et l'arc BÄ = BA, alors Ä est aussi un axe à coïn- 

 cidence de la même espèce que A. On a 



Cos AA' - Cos2 AB. 



Les arcs AA et AB ne peuvent d'après § G prendre d'autres valeurs 

 que 30", 45", 60" ou 90" ou les supplements de ces angles à 180", d'où il 

 suit que les cosinus de ces angles ne peuvent avoir d'autres valeurs que 

 4;il/3. +2l/2' +2 ^t 0, Il n'est pas difficile de voir, qu'il n'y a que 

 deux systèmes de ces ualeurs qui peuvent satisfaire à l'équatiou que nous 

 venons de citer, savoir: 



Cos AÄ =i, Cos AB = + ^ [/¥ et Cos A A' = 0, Cos AB = O, 



de manière que l'angle AB ne peut prendre d'autres valeurs que 45", 135" 

 et 90". 



§ 9. Un axe de 60" est tottjours perpendiculaire a%ix autres axes de 

 60", 90" ou 180". 



Soit B (Fig. 6) un axe de GO" et A un autre axe de 60", 90" ou 180". 

 Si l'angle ABÄ = G0" et l'arc BA'^BA, Ä sera un axe de même espèce 

 que A. Nous avons: 



Cos AÄ = Cos-2 AB ^^ Sin2 AB = i (Cos^ ^5+1) 



pe qiii donne: 



Cos2 ^iÇ = 2 Cos ^.^' — 1. 



Selon le § 6 Cos AB et Cos AÄ ne peuvent prendre que les valeurs 

 suivantes : 



±2 l/3, +5I/2. + ou 0. 



Il n'est pas difficile de voir, que de toutes ces valeur il n'y a qu'un 

 seul système qui satisfasse à l'équation citée, savoir: 



Cos AÄ - ^, Cos AB = 



