Déduction des ai/stèmes cristallographiqaes. 13 



laire aux deux pirniiers (§ (>), di* manière qu'il y aura on tout frais axes de 

 JSO'* perpendiculaires eidreux Fig'. 38. 



B) Si l'angle niininumi compris entie deux axes de ISO" est de 60", il 

 y aura dans le même plan en tout bois axes de 180", (jui se coupent sous 

 des angles de 60^, et un axe de 12(ß^ qui leur est perpendiculaire (§ 0). 

 Fig. 47. 



A ce cas on peut ajouter encore un axe de ISO", qui peut former avec 

 les autres axes de 180" des angles de 60" ou de 90"; et comme cet axe ne 

 peut pas former avec tous les autres axes de 180" des angles de 6(1", il y 

 en aui-a nécessairement deux perpendiculaires entr'eux. Mais alors il existe 

 aussi un troisième axe perpendiculaire aux deux premiers. Les autres axes 

 ne peuvent pas être placés dans les plans passant par ces trois axes per- 

 pendiculaires, parcequ'ils ne peuvent former avec eux que des angles de 60" 

 ou de 90". Considérons un de ces axes D (Fig. 8) qui tombe dans l'inté- 

 rieur d'un triangle spliérique ABC dont les sommets sont formés par les 

 axes perpendiculaires; comme cet axe forme avec les axes perpendiculaires 

 des angles moindres que 90", ces angles ne peuvent être que de 60". On 

 voit aisément qu'une telle position est géométriquement impossible, parcequ'on 

 ne peut pas former un triangle sphérique A BD, où les angles J:^^=45", 

 i>=l20", et les côtés ^5 = 90", AD = DB = m\ Il résulte de là qu'on 

 ne peut pas ajouter d'autres axes de 180" au cas représenté dans la Fig. 47, 

 au moins sans y ajouter des axes d'autres espèces, de manière que ce cas 

 serait réduit à un cas déjà examiné. 



§ 11. Outre les cinq combinaisons seules possibles des axes de 180", 

 90" et 60", que nous venons de trouver, chacun de ces axes peut aussi exis- 

 ter à lui seul. Dans le § précédent nous avons aussi indiqué les cas où des 

 axes de 120" doivent nécessairement exister dans les combinaisons des axes 

 d'autres espèces. Reste à voir maintenant, si l'on ne peut pas encore ajou- 

 ter des axes de 120" anx différents cas examinés plus baut. Observons que 

 si un axe de 120" B (Fig. 6) existe conjointement avec un axe A de 180", 

 90" ou 60", et si par une rotation du cristal de 120" autour de B, A vient 

 se placer en Ä, cette dernière direction sera un axe à coïncidence de la 

 même espèce que A. On en conclut qu'un axe de 1 20" ne peut exister con- 

 jointement avec un autre axe de 180", 90" ou 60" que dans le cas où il y 

 aura plusieurs axes de cette dernière espèce, qui comme nous le savons ne 

 penvent former qu'une des cinq combinaisons du § 10. Pour déduire toutes 

 les combinaisons possibles des axes de 120" avec d'autres axes, il faut ob- 



