14 Axel Gadolin. 



sei-ver que pour éviter des répétitions ou des cas impossibles on ne doit à 

 aucune des cinq combinaisons précédentes essayer d'ajouter de tels axec de 

 120", qui impliqueraient lexistence de nouveaux axes de 180", 90" ou 60". 

 Mais aün qu'un axe de 120" n'implique pas l'existence de nouveaux axes de 

 180", 90" ou 60" dans un des cinq combinaisons possibles de ces derniers 

 axes, il faut qu'il passe par le milieu de triangles équilatéraux sphériques, 

 dont les trois sommets sont fonnés par des axes d'une même espèce dans 

 chaque triangle. Il n'y a donc lieu d'ajouter des axes de 120" qu'à des 

 combinaisons d'autres axes, où ceux-ci peuvent être groupés tous dans des 

 triangles équilatéraux à milieu commun. En examinant sous ce point de vue 

 les cinq combinaisons du § 1 0, il est aisé de voir, qu'il n'y en a qu'une 

 seule où l'on puisse ajouter un axe de 120", c'est celle de trois axes de 

 180" perpendiculaires entr'eux (Fig. 38), et il est facile de voir, que l'exi- 

 stence dans cette combinaison d'un axe de 120" implique l'existence de trois 

 autres axes de 120", de manière que nous avons irois axes de ÏSO" dirigés 

 comme les axes prinsipaux du système cristaUoyraphique régulier, et quatre 

 axes de 120^^ dirigés comme les axes trigonaux. (Fig. 29). 



§ 12. Outre les six combinaisons d'axes à coïncidence citées dans les 

 §§ 10 et 11. quatre cas dans lesquels il n'existe que l'un des axes de 60^ 

 (Fig. 50), 90'' (Fig. 35 J, 120'' (Fig. 53) ou 180'' (Fig. 41) seul et un 

 dornier cas où il n'y a pas du tout d axe à coïncidence, il ny a pas d au- 

 tres cas possibles. 



Pour nous en convaincre il ne nous reste qu'à démontrer, que l'existence 

 simultanée de deux axes de 120" imi)lique l'existence d'un axe à coïncidence 

 d'une espèce différente, car alors une telle combinaison se confondra avec un 

 des cas que nous avons déjà trouvés plus haut. 



Soient A et B (Fig. 9) deux extrémités d'axes de 120" distantes d'un 

 arc n'excédant pas 90". Soit a une face cristalline quelconque; si les arcs 

 Aa=.Äb = Ac et les angles a Ab ^ b Ac = c Aa^\ 20", alors b et c seront 

 les faces avec lesquelles on peut faire co'ïncider a par des rotations du cri- 

 stal de 120" autour de l'axe A. Soit que par une rotation du cristal de 

 120" autour de l'axe B le point A co'incide avec D, et les faces a, b, c 

 avec d, b', c. Toutes ces faces coexistent nécessairement avec la face a. 

 Je dis que, si l'on mène un arc de grand cercle BE qui partage en deux 

 l'angle ABB -=\20", et par le point A un autre arc de grand cercle qui 

 coupe le premier en F de manière que les angles BAE^ABF^^^HO^^'dlovs 

 la direction F sera un axe à co'incidencc de l'angle AFB. On voit en effet 



