1<> Axel Gadolin. 



disposition de ces directions, il nous reste encore à le fjiire pour les di- 

 rections qui présentent leyalitc symétrique, que nous avons définie dans 

 le § 1. 



Soient A et B (Fig-. 2) deux directions symétriquement égales, et a' et 

 // deux faces cristallines correspondantes aux foces a et h. Si nous prolon- 

 geons les droites B, a et // au delà du centre de la sphère, de manière à 

 obtenir la direction B^ et les perpendiculaires a\ et ù\ diamétralement oppo- 

 sées à la direction B et aux perpendiculaires a et // les trois points d'inter- 

 section B, a\ et // de ces nouvelles directions avec la surface de la sphère 

 formeront un triangle sphérique, qui présente une égalité surperposable avec 

 le triangle Aab. Les faces qui correspondent aux perpendiculaires a\ et b\, 

 n'existent pas nécessairement dans le cristal, mais elles sont paralèles à des 

 faces existantes, et si ces faces existaient, la direction B^ présenterait l'éga- 

 lité de coïncidence avec la direction A, de manière qu'on pourrait produire 

 la coïncidence de toutes les faces en faisant tourner le cristal d'un certain 

 angle a autoui- d'un certain axe C. En réalité cette coïncidence n"a pas lieu 

 entre des faces existantes, mais la rotation décrite a l'effet de rendre chaque 

 face parallèle à sa face correspondante. Dans la construction décrite dans 

 la note A et qui sert à contrôler la loi de la rationalité des rapports des 

 paramètres, on ne fait pas de différence entre une face et sa parallèle; dans 

 cette construction ces deux faces se confondent dans le même plan. Nous 

 en concluons que si une certaine face est cristallographiquement possible, sa 

 parallèle le sera aussi. De là nous concluons que si même les faces a\ et 

 b\ n'existent pas dans le cristal, en tout cas elles doivent être possibles, 

 sans quoi leurs parallèles, les faces a et b' ne seraient non plus possibles. 

 Or la possibilité des faces a\ et b'^ dépend de la possibilité de l'axe à coïn- 

 cidence C de l'angle a, c'est-à-dire d'un axe tel que si l'on fait faire au cristal 

 une rotation d'un angle déterminé autour de cet axe, la direction A coïncide 

 avec celle qui est opposée à B, en même temps que les faces a et b co'in- 

 cident avec celles qui sont parallèles aux faces a et b', qui leur correspon- 

 dent symétriquement. Ceci posé, il sera fcxeile de déterminer tous les mo- 

 des possibles de disposition des directions symétriquement égales. Pour cela 

 il faut d'abord déterminer les différentes espèces de symétrie, en attribuant 

 à l'angle c. successivement toutes ses valeurs possibles, savoir 0, 60", 90", 

 120", 180". Il est évident que ces différents cas se peuvent combiner en- 

 semble de la même manière que les axes à coïncidence correspondants, mais 

 au lieu de les combiner de cette manière nous adopterons un autre chemin, 

 qui nous mènera plus rapidement à notre but, de trouver tous les modes pos- 



