22 Axel Gadolin. 



cequ'alors on ajouterait en même temps un axe de ISO", ce qui donnerait 

 une autre combinaison d'axes à coïncidence, et ces combinaisons nous les 

 avons déjà toutes examinées. Il ne reste donc qu'à ajouter des plans de 

 symétrie à ceux des onze cas des §§ 10, 11 et 12, qui, par l'addition de 

 nouveaux axes de 180", peuvent se convertir en d'autres cas de ce même 

 nombre; c'est perpendiciilairement à ces axes, qu'on pourrait ajouter aux axes 

 existants, qu'il faut mener les plans de symétrie. En examinant sous ce 

 point de vue les onze cas des §§ 10, Il et 12 nous voyons que: 



1) Le cas Fig. 29 passe au cas Fig-. 27 par l'addition des axes de 

 180" dirigés le long des axes rhombiques. Si Ion ajoute un plan de symé- 

 trie perpendiculaire à lun de ces axes, alors, par suite de l'existence des 

 axes de 120", il y aura en tout six plans de symétrie perpendiculaires à 

 chacun des axes rhombiques. Fig. 31. 



2) Le cas Fig. 35, où il n'existe qu'un axe de 90", passe au cas Fig. 

 32 par l'addition de quatre axes de 180" perpendiculaires à l'un de ces axes 

 imaginaires; on a, par suite de l'existence de l'axe de 90" (§ 15, 4), en tout 

 quatre plans de symétrie passant par l'axe de 90^^ et se coupant sous des 

 angles de 45'' et 90'\ Fig. 37. 



3) Le cas Fig. 38 passe au cas Fig. 32 par l'addition d'un axe de 

 180" qui partage en deux parties égales l'angle compris entre deux des axes 

 de 180". Si l'on ajoute un plan de symétrie perpendiculaire à cet axe ima- 

 ginaire^ (§ 15, 4) nous aurons en tout deux plans de symétrie qui passent 

 par l'un des axes de 180^' et partagent en deux parties égales l'angle com- 

 pris entre les deux autres. Fig. 40. 



A ce même cas Fig. 38 on pourrait ajouter encore d'autres axes de 

 180", et conséquenmient y joindre de nouveaux plans de symétrie, mais les 

 axes à co'ïncidence réels du cas Fig. 38 ne seraient pas disposés symétri- 

 quement par rapport à ces plans de symétrie, d'oii il résulte que l'existence 

 de tels plans de symétrie impliquerait l'existence réelle de nou\'eaux axes à 

 co'ïncidence, ce qui montre que les cas, que nous pourrions obtenir de cette 

 manière, seront obtenus par une autre voie en ajoutant à quelque autre com- 

 binaison d'axes à coïncidence des plans de symétrie, qui n'impliquent pas 

 l'existence de nouveaux axes à coïncidence. 



4) Le cas Fig. 41 passe au cas Fig. 38 par l'addition d'un axe de 180" 

 perpendiculaire au seul axe existant de 180". Si l'on ajoute un plan de sy- 

 métrie perpendiculaire à cet axe imaginaire de 180", nous aurons par suite 

 du § 15, 4 en tout deux plans de symétrie passant par l'axe de 180^ et 

 perpendiculaires entr'eux. Fig. 43. 



