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ce qui donne en tout trois plans de symétrie, passant par l'axe de J20^\ 

 se coupant sous des anyles de 00^. Fig-. 55. 



L'addition d'autres plans de symétrie implique l'existence de nouveaux 

 axes à coïncidence. 



L'addition au cas Y\g. 32 d'un axe de 180" qui partage en deux l'angle 

 entre l'axe de 90" et un des axes de 180", fait passer ce cas à celui de la 

 Fig. 27. L'addition d'un plan de symétrie perpendiculaire à ce nouvel axe 

 implique l'existence dun nouvel axe de 90". ce qui monti'e que nous avons 

 dû obtenir ce cas plus haut par une voie dittérente. 



Aux deux cas restants des §§ 10, 1! et 12, savoir les cas Fig. 27 

 et 44, on ne peut pas ajouter de nouveaux axes de 1 80". et par conséquent 

 on ne peut non plus y ajouter des plans de symétrie sans entraîner la loi 

 du parallélisme. 



§ 18. Il nous reste à combiner avec les cas précédents la loi de la 

 symétrie sphénoïdale du § 13. 3. A cet ettet nous ferons observer que cette 

 loi ne peut exister que là où il }- a un axe de 180" qui peut se convertir 

 en un axe de 90". De tels axes de 180" n'existent que dans les combinai- 

 sons des axes à coïncidence Fig. 29, 38 et 4 1 et dans les cas qui en déri- 

 vent par l'addition de la loi du parallélisme, savoir les cas Fig'. 30, 39 et 

 42, ou par l'addition des plans de symétrie Fig. 31, 40 et 43. D'abord il 

 est facile de voir, que l'addition de la loi de la symétrie spliénoïdale au cas 

 Fig. 38 nous donne le cas déjà trouvé Fig. 40. En effet cette loi exige la 

 coexistence de quatre faces disposées comme a, a, a" et a'" par rapport à 

 l'axe de la symétrie C (Fig. 17). L'existence d'un axe de 180" DD per- 

 pendiculaire à l'axe C, amène l'existence de quatre nouvelles faces /*, b' . //' 

 et b'". Ces huit faces sont évidemment disposées symétriquement par lap- 

 port à deux plans FF et G G passant par l'axe C, et partageant en deux 

 parties égales les angles compris entre les deux autres axes de 1 80", ce qui 

 montre, que ce cas coïncide avec le cas Fig. 40. 



Connue dans le cas Fig. 29 il y a aussi trois axes de 180" perj)endi- 

 culaires entr'eux, l'addition à ce cas de la loi de la symétrie sphénoïdale 

 nous donne des plans de symétrie qui passent par les axes de 120"; or ces 

 axes multiplient le nombre de ces plans jusqu'à six de manière que nous 

 obtenons un cas déjà trouvé, le c:is de la Fig. 31. Ici tous les axes de 

 180" se sont convertis en axes de symétrie sphéno'ïdale, de manière que 

 l'addition ultérieure de cette symétrie est impossible. Au cas de la Fig. 40 

 on peut au contraire encore ajouter la symétrie sphénoïdale par rapport à un 



