50 Axel Gadolin. 



face AOB, d'où l'on conclut à la possibilité des faces AOD et COE, qui sili- 

 ces axes ont les paramètres lune B A, BO et ^BC^ et l'autre BC, BO et 

 ^ B A. Or ces deux plans se coupent dans l'axe de 1 20", qui est conséquem- 

 ment un axe cristallographique possible. Observons encore ici, que les in- 

 tersections de ces plans avec la face ABC, qui est perpendiculaire à l'axe à 

 coïncidence, ont lieu dans deux droites AD et CE inclinées Tune sur l'autre 

 sous 60" et que ces deux droites sont des axes cristallograpliiques possibles. 

 De plus, comme le point F de rencontre de l'axe à coïncidence avec la face 

 ABC est le centre du triangle équilatéral ABC, de manière que FD = FE, 

 il s'ensuit que les deux axes FE et FD ont la même valeur. Il est facile 

 de voir que la droite passant par les points B et F est aussi un axe cri- 

 stallog-raphique possible incliné sur FE et FB sous un angle de 60" et d'une 

 valeur égale avec eux. 



Nous démontrerons aussi le théorème inverse que si un axe à coïnci- 

 dence de 120^ est en même temps nn axe cristallograpltiqne possible, alors 

 trois ares cristallographiques A, B et C. qui se confondent par des rota- 

 tions de 120^^ autour de taxe à coïncidence, ont la même valeur. En effet 

 imaginons une face cristalline quelconque^ qui rencontre l'axe de 120" dans 

 un point différent de l'origine des coordonnées. Des rotations de 120" autour 

 de l'axe à coïncidence font coïncider cette face avec deux autres, qui, passant 

 par le même point d'un des axes cristallograi)liiques, savoir l'axe de 120", 

 ont sur les axes B et C des paramètres égaux à celui de la première face 

 sur l'axe A, d'où il résulte que les axes A, B et C ont la même valeur. 



§ 30. Après ce que nous avons dit plus haut, il est évident que si q 

 n'est pas le cube d'un nombre rationnel, c"est-à-dire si les axes A, B et C 

 n'ont pas de valeurs égales, alors l'axe à coïncidence de 120" n'est pas un 

 axe cristallographique possible. La réciproque est aussi évidente. Dans la 

 nature il n'y a pas de formes cristallines qui présentent de tels axes de 120", 

 au moins on n'en a pas encore découvert. Il faut remarquer qu'au contraire 

 lexistence de tels axes de 120" est incompatible avec une loi cristallogra- 

 phique jusqu'ici sans exception connue; nous parlons de la loi de la rationa- 

 lité des rapports des tangentes des angles formés entre les faces de la même 

 zone. En effet l'existence de cette loi est liée à la rationalité des rapports 

 des produits formés par deux paramètres chacun sur lun des axes de coor- 

 données, des sinus des angles que ces axes font avec le troisième axe, et 

 du cosinus de l'angle que forment les plans de coordonnées qui se coupent 

 dans ce troisième axe. Comme les angles entre les axes A, B et C sont 



