Déduction des systèmes cristallograjjhiques. 51 



égaux, et les angles entre les plans des coordonnées se coupant dans cha- 

 cun de ces axes sont aussi égaux, il en résulte que le rapport entre deux 

 produits de l'espèce définie plus haut se réduit au ra})port entre deux para- 

 mètres pris chacun sur l'un des axes A, B et C. C'est la rationalité d'un 

 tel rapport qui exclut l'existence des axes à coïncidence de 120" du genre 

 de ceux dont il est question. 



§ 31. Nous allons maintenant considérer les groupes cristallographi- 

 ques énumérés dans le chajjitre YV pour voir, s'il existera nécessairement 

 dans chacun de ces groupes des axes ciistallographiques possibles tels qu'on 

 les suppose généralement dans la cristallographie. 



A. Les groupes du système régulier. 



1) et 2) Fig. 2S et 27. Il y a dans ces groupes, qui correspondent 

 à l'holoedrie à Ihémiëdrie à faces alternatives, trois axes de 90" perpen- 

 diculaires entr'eux. Ces mêmes axes sont nécessairement des axes cristallo- 

 graphiques possibles, d'une valeur égale. (§ 27, N:o 1 et 4). 



3) Fig. 31. Dans ce groupe qui correspond à Ihémiëdrie tétraëdrique, 

 les perpendiculaires aux plans de symétrie partagent en deux parties égales 

 les angles compris entre les axes de ISO*^'. On sait par la remarque faite 

 dans le § 1 3 que par rapport aux valeurs absolues des paramètres ces per- 

 pendiculaires jouent le même rôle que des axes à coïncidence de 180", d'où 

 il résulte que les axes de ISO" existants dans ce groupe et qui sont aussi 

 des axes cristallographiques possibles, sont de la même valeur, parcequ'ils 

 se confondent par des rotations de ISO" autour des perpendiculaires aux 

 plans de symétrie (§ 27, N:o 2). 



4) et 5) Fig. 30 et 29. Dans ces groupes qui correspondent à Ihémi- 

 ëdrie dodécaëdrique et à la tétartoëdrie, les trois axes de 180" sont en même 

 temps des axes cristallographiques orthogonaux, mais ces axes n'ont pas la 

 même valeur que dans le cas où les axes de 120" sont aussi des axes de cri- 

 stallographiques possibles (§ 29). Dans ce dernier cas ces groupes sont 

 identiques à ceux qu'on désigne ordinairement sous le nom de l'hémiëdrie 

 dodécaëdrique et la tétartoëdrie du système regulier. Mais si les axes de 

 120" ne sont pas des axes cristallographiques possibles, alors les trois axes 

 orthogonaux ne sont pas de valeurs égales, et les paramètres sur ces axes 

 sont dans des rapports irrationnels. Dans ce cas, hors les formes générales 

 de ces groupes^ il n'y a d'autres formes possibles que le dodécaëdre penta- 



