Déduction des systèmes cristallograpliiques. 65 



déterminera alors, si nous 2)rolong'eous la droite N'T, qui est parallèle à OP, 

 jusqu'à son intersection avec PN dans le point U. Les triangles NOP et 

 NN'U étant semblables, on voit que la rationalité du rapport PN : PU est 

 déterminée par celle du rapport ON: ON'. 



Nous avons vu de cette manière, que si la loi de la rationalité des rap- 

 ports des paramètres et satisfaite pour un certain système d'axes de coor- 

 données, elle le sera encore si nous remplaçons un des plans de coordonnées 

 par une des faces cristallines possibles quelconque de la série cristalline en 

 question. De la même manière on peut remplacer par de nouvelles faces le 

 second et le troisième des anciens plans de coordonnées, d'où il résulte que 

 toute intersection de deux faces cristallines possibles quelconques peut être 

 prise pour axe de coordonnées, et par rapport à cet axe la loi de la rationa- 

 lité des rapports des paramètres sera satisfaite. 



En remplaçant dans la démonstration précédente un des plans de coor- 

 données par un nouveau plan, nous avons en même temps, pour la simplifica- 

 tion de la démonstration, changé l'origine des coordonnées. Il est facile de 

 voir que notre théorème subsistera encore, si l'on conserve l'ancienne origine, 

 ou si l'on place la nouvelle origine dans un point arbitraire de l'espace. Pour 

 s'en convaincre, on n'a qu'à imaginer deux constructions distinctes; dans la 

 première nous disposons les faces de la manière qu'il le faut pour vérifier 

 la loi de la rationalité des rapports des paramètres par rapport aux anciens 

 axes, tandis que dans l'autre construction nous menons des faces parallèles 

 aux premières, en les disposant de la manière qu'il le faut pour vérifier cette 

 même loi par rapport aux nouveaux axes. On peut ensuite imaginer que la 

 seconde construction se déplace de manière que les faces restent parallèles 

 à leur première position^, et que l'orgine vient se placer dans un point quel- 

 conque de l'espace, ou bien aussi dans l'orgine des coordonnées de la pre- 

 mière construction. On voit de cette manière que si, par un point arbitraiie 

 dans l'espace, on mène des plans parallèles à toutes les faces possibles d'une 

 certaine série cristalline, toutes les droites d'intersection de ces faces auront 

 la propriété daxes de coordonnées, c'est-à-dire que si, par un point arbitraire 

 pris sur un de ces axes, nous menons des plans parallèles à toutes les fa- 

 ces possibles de la série en question, les paramètres de ces plans sur cha- 

 cun de ces axes seront dans des rapports rationnels. Nous appelerons axe 

 cristaUoyraphique possible dans une série cristalline toute intersection de deux 

 faces cristallines possibles de cette série. Les propriétés dont jouissent ces 

 axes cristallographiques possibles, viennent d'être exposées. 



Il importe de démontrer encore q'un plan, qui passe par deux axes 



