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cristallographiques possibles quelconques cVune certaine série cristallograplii- 

 que, est toujours une face cristalline possible dans cette séiie. *) 8oit l'axe 

 OA (Fig. 2ß) l'intersection de deux faces poasibles P et Q, et 0Ä l'inter- 

 section de deux autres faces possibles P' et Q'. Je prends pour plans de 

 coordonnées les fJices P, P' et encore une face quelconque. Soit dans la 

 figure AWS la face P, MOT la face P' et SOT le troisième plan de coor- 

 données. Par un point 3î pris sur l'intersection de P et /*' menons des 

 plans parallèles aux faces Q et Q'; ces plans couperont les plans P et P' 

 dans des droites ß/S et 31T parallèles à OA et 0Ä. Or il est évident que 

 le plan 31ST, parallèle au plan qui passe par OA et 0Ä, a sur les axes 

 OS et OT les paramètres OS et OT, égaux aux paramètres sur ces mêmes 

 axes des faces Q et Q'. et que par conséquent le plan MST est parallèle 

 a une face cristalline possible. Si l'un des points S ou T, par exemple S, 

 coïncide avec 0, notre théorème subsistera toujours, parcequ'alors le plan 

 MST ne sera autre chose que la face P'. Si simultanément les deux points 

 5* et T' coïncident avec le point 0, notre théorème ne sera non plus en dé- 

 faut, parcequ'alors' les deux axes OA et 0Ä se confondent en un seul, de 

 manière cpie les conditions du théorème ne sont plus remplies. 



Note B. 



Si n est un nombre entier, Qo^^ne sera cammensurable avec T unité 

 que si sa valeur absolue est un des nombres 0, ^ ou 1 . **) 



Nous savons que: 

 2""~'Cos'"a= Cos2wa; + (2n)i Cos(2tt— 2).t + (2w)2 Cos(2?2 — 4).r + l . . . (i) 



+ • ■ • -f (2n)„_i Co8 2a;+^(2w)„ / 



2^"Cos'-"+\r = Cos (.2« -\- \) x -\- (In + \\ Cos (2«- 1 ) x -\- (2m + 1 )., Cos (2« — 3) a- +1 (2) 

 -f -f (2n+ l)„Cosa; ) 



Nous avons employé ici le symbole ?;«j. pour désigner le coefficient bino- 



mial: 



m{m — 1) • • -{m — k-\- 1) 



1 • 2 



En posant pour a dans (1) et (2) successivement les nombres: 1, 2, 3 

 etc., on peut déterminer successivemeut Cos 2x, Cos 3a;. Cos 4a7, etc. en 



*) C'est aussi un théorème connu, qu'on exprime ordinairement ainsi : chaque face ren- 

 fermée dans deux zôues données est une face cristalline possible. 



**) La démonstration de ce théorème nous a été communiquée par M. N. Boudaief. 



