68 AxelGadolin. 



Les équations (7): La première rlonne A2„=2^"~\ d'où il résulte 

 ^2^,_2 = 2^""^ J2n-4=2"""'^ etc.; alors la seconde équation donne: .... 

 A'^l= C\ . -l-''-^ où C\ est un nombre entier; il en résulte que 4!,L2=C'i'. 2^" ^ 

 J!,'j^^= 6'i". 2""~' etc., où Cl, C" etc. sont des nombres entiei's; alors la 

 troisième équation donne ^l?,î = 62 . 2^"~", où 6o est un nombre entier, et 

 ainsi de suite. L'avant-dernière équation donne: .'^?,'" ''= t'„-i • 2, où 6'„_, 

 est un nombre entier. La dernière équation donne évidemment pour A^",l 

 une valeur qui est un certain nombre entier 6',,. 



Les équations (8) donnent: B^„+r = 2"\ M',! + , == Z>, . 2'" ^ -, ^i!,V, 

 = I).,.2^"-\ ■■■■, B'i:r+'l = D„_i.2\ B\;il^i = D„, où les Z> sont des nombres 

 entiers. 



Si dans les valeurs trouvées pour les A et les B. on met m au lieu de 

 n et qu'on désigne par G et H ce que deviennent alors les C et les D, la 

 substitution de ces valeurs dans les équations (3) et (4) donne: 



Co8 2ffla; = 2-"'-'Cos"".ï+G, . 2»r'"-' Cos'"' ^" x + 6'2 . 2'"'-" Cos"'"-* a: + 



+ + 6',„_i-2Cos-.r+G',„; 



Cos(2»i-|~ 1).T= 2 Cos x-\-H\-2 Cos a: + ^2 -2 tos x-\- 

 Jr + /^„,_i.2^Cos''a; + ^,„Cos.T; 



En multipliant ces équations par 2 et posant 2 Cos.t = 2, on a: 



2 Cos 2ffîx = z'"' + Giz-"'~^+GoJ"'-'+ + G,„_,7'+2G,„: • • ■ (0) 



2Cos(2ff!+l).r=r-"'+' + //,z="'-' + //2s"""'+ + H„,-iZ^ ^- H,„z; ■ ■ ■ (10) 



où les G et les H sont des nombres entiers indépendants de z. 



Posons dans l'équation (9) 2mx^=2%, ce qui donne z^2 Cos-^ , tan- 

 dis que dans l'équation ( 1 0) nous poserons {2m -f I ) j:' ^ 2;r, ce qui donne 

 2 = 2 Cos ^" Pour ces cas spéciaux les équations (9) et (10) se rédui- 

 sent à celles ci: 



^2m_^^^^^2m-2_^^^,2„,--4_^ |. G,„_, / + 2 ( G„, - 1) = 0; . • • (H) 



z^"*+'+^,z-"'-' + ^2z"'^'+ +//,„2-2 = 0; ■ • • (12) 



Dans ces équations tous les coefficients sont des nombres entiers et 

 le premier coefficient de chaque équation est égal à l'unité- Il en résulte 



