Déduction des systèmes cristallographiques 69 



que les racines commensiirables avec l'unité ne peuvent être que des nom- 

 bres entiers. Or comme r = 2 Cos ^" pour l'équation ( 1 1 )et 2 = 2 Cos j^^^ 

 pour l'équation (12), sa valeur absolue ne peut pas dépasser 2; il en résulte 

 que z ne peut avoir d'autres valeurs conmmensurables avec l'unité que 0,+ 1 , 

 + 2. Ainsi les cosinus des arcs de la forme—, où n est un nombre entier 

 ne peuvent être commensurables avec l'unité que dans le cas, où ils ont une 

 des valeurs 0. + ^ ou -f I . Il est d'un autre côté facile de voir que les 

 arcs qui ne dépassent pas jr et qui ont pour cosinus une des valeurs 0, +^ 

 ou + 1 , sont de la forme — 



Remarques. Si dans l'équation (9) on pose 1mx^=kn et dans l'équa- 

 tion (10) {2m-\- \)x^i=ikn, on conclut, par un raisonnement analogue au pré- 

 cédent, que le cosinus ou le sinus d'un arc de la forme *^ , où k et n sont 



des nombres entiers, ne peut être commensurable avec l'unité que s'il a une 

 des valeurs: 0, +^, +1. 



Les coefficients dans les fornuiles (3) et (4) se déterminent par les for- 

 mules suivantes: 



4t! = (- 1)*[(2»»-A), + (2;«-^— !),_,] .22'»-^'-'; 



-,2m-2A- 



