78 



Hugo Gyldén. 



2. 



Insätta vi '}/)(i^)=ö' i eqv:erne (3) och (C) så erhålla vi omedelbart den 

 andra af eqv:erne (I); men denna serie är, såsom ofvan blifvit antydt, inga- 

 lunda af någon praktisk användbarhet. För att erhålla ett trigonometriskt 

 uttryck för d-, som i högre grad konvergerar, skola vi välja en annan funk- 

 tion af %■, hvilken å ena sidan möjliggör en raskt konvergerande serieutveck- 

 ling, och å andra sidan förutom & ej innehåller andra funktioner af denna 

 qvantitet än siner eller cosiner. En sådan funktion är 



ip (9) =J'^ cos 9 -'cl& 



der i betecknar ett reellt och positivt, men för öfrigt godtyckligt helt tal. 

 Såsom bekant är, har man 



/ 



cos ^2» dd- - 



— 1 



■& + 2 



1-2 



1 • 2 



1) 



sin 2^ + 



1 2^(2«— 1) . 



2« 1 1 



— -sin (2«— 2)0^ +— TSin2i& 

 — Z Zl I 



Införa vi beteckningarne 



(5) 



1-2 



2i(2i—l)---{i + l) 



' (i + 1 + M) 



^2« „22' 1.2- 



r(2i+l) 



(i — n) n2^' r(i — n+ 1) r(,i+n+ 1) 



«« = « ^« = ii-n+l)ii-n+2)...i 

 «2« -ff 2n (j_|.i)(2_f.2) {i + n) 



så blifver 



a- 



'Jo 



cos ^2' (IQ' — «^'' sin 2^ — K« sin 40- - 



•c^s\n2i». 



Gifver man efterhand åt i värden O, 1, 2, 3, 4, o. s. v., så finner man 



■«2 — 4 ' 



Af - 1 



■"2 " ¥4 ' 

 O. S. v. 



4 



I 



4'' = Ä. 



o, s. v. 



/»0=1' 



Pi = 2, 



„ — 1_6 

 /'s — Ï ' 



P4 — Î5 

 O. S. V. 



MS) _ 1 



o. s. v. 



4 — TcVî ' 

 O. S. V. 



o. s. v. 



