Relationer emellan cosiner och siner för irrationella vinklar. 79 



Vid utvecklingen af funktionen _f* cosi^^'V/i)' i en trigonometrisk serie, 

 kommer det att visa sig-, det man genom ett passande val af i kan tilldela 

 denna serie en sådan konvergens, att dess summa utan synnerlig möda huru 

 nära som helst kan beräknas. Naturligtvis stiger antalet märkbara termer, 

 i den mon man önskar en större noggrannhet, men vid vanliga räkningar, 

 der man inskränker sig till 7 decimaler, blifver summationen ganska lätt 

 verkställd. 



Gå vi nu till utvecklingen af f * eos O-^' dd' och tillämpa dervid eqv:erne 

 (3) och (C), så finna vi genast 



-»fl- 



cos a-2' d»-^ Ä« + Bf sin & + jSC) cos 29- -| , 



r 



der vi betecknat 



4» = ~ coa2nQd&i cos&^'d», 



t' — qTt e/ 



2 /^+it /^* 



äW^j =- a\ü(2n+l)&d&i cos^2<^q.. 



Enligt regeln för delvis integration finna vi vidare 

 1 i+jt r* „ 1 r+i^ 



M') = — sin2w* coa»^'d9 am2n&cos9^'d&. 



Man ofvertygar sig lätt, att hvardera af dessa termer och följaktligen 

 äfven deras summa är lika med noll. Den första termen försvinner, emedan 

 densamma innehåller faktorn sin.-r^O. För att bevisa det den andra ter- 

 men äfven är O, behöfver man endast erinra sig, att produkten sin 2n\f cosî)-"' 

 endast innehåller termer af formen 



a sin 2m%' . 



Multipliceras en sådan term med d%^ och integreras den sålunda bildade 

 produkten emellan gränsorua — 1ä och ^ff, så blifver resultatet: 



— --^ cos»î;r — cos;«;r \ =0. 

 2m I i 



Af detta resonnement framgår att 



4ti = o 



