Relationer emellan cosiner och siner fin- irrationella vinklar. 81 



skulle föras till det falska resultat, att ifrågavarande integral blefve oänd- 

 lig, om ofvanstående olikhet ej ägde rum. 



För att erhålla ett allmänt gällande uttryck för vår integral, skola vi i 

 den bekanta reduktionsformeln 



€"■' COS X'" (ix = — -' — „ e"-^' cos x"' - ^ -\ V^- — ^ e"' cos x'" ~ - dx 



a^ -\-m^ a^-\- m^ J 



insätta 



a = p j/Z.1 . 



Vi erhålla nu genom att sätta den reella delen för sig lika med noll 



,„^ f p sin px coä x'" 7)1 cospx sm X cos x"'~^ , ?«(?« — 1) f ,,,_» j 



8) cos px cos .7'« dx = — ^ i '—^ s \, 5- cospx cos X'" - dx. 



J ?«* — p^ m^—p^ m^—p^ J 



Genom att sätta koefficienten för }/^^ lika med noll, skulle vi erhålla 

 en annan eqvation, hvilken likväl ej i det följande kommer att behöfvas och 

 således här kan utelemnas. 



Antaga vi ?n vara ett helt tal af formen 2/ och insätta vi i eqvationen 

 (8) gränsorna O och | ir, så finna vi 



ri't ^ 2/(2/— 1) fiJt ,. , , 



(:ospxQosx~'dx= -—--—-^ i coapxcosx-'--dx 



Jo ^* P Jo 



2/(2/ — 1)(2/— 2)(2/— 3) fåJt g,- 4, 



= — i '— — cospxcosx^'-*dx 



(4/-^ —p^) (4 (/ - l)'^ —p^)J o 



_J^ . , 2/(2/ -1) (2/- 2)... 3. 2.1 



i«) - j, s'n iPn ^^p _ jB^; (4 (/ - 1)-^ -p') (4 (/ - 2)2 —p^} ... (4 -p') ' 



Detta uttryck, som är fritt från den olägenhet, hvilken vidlåter eqv. 

 (7) finnes aniördt i Raabes lärobok i Differential- och Integral-räkningen; 

 den nu meddelade deduktionen af denna formel synes mig dock vara den 

 enklaste. Insätta vi i densamma 2« + 1 i st. f. />, så hafva vi med hän- 

 seende till eqv. (6) 



4 (— l)'2/(2/ — 1)(2/— 2)...3.2. 1 .2w-fl 



^^"^ ^2»+i~ff(2w+2/+l)(2K+2/— 1) ...(2?i+3)(2M+lJ(2n+l)(2w— 1)...(2« — 2/+3)(2w— 2/+1) 2 



hvaraf vidare följer att 



f&l+i _ _ (2w— 1)(2m — 2/— 1) 

 ^Li" (2n+l)(2w-f 2/-f 1)" 



11 



