Relationer emellan cosiner och slner för irrationella vinklar. 91 



tycklig-t tal, i trigonometriska serier, der endast hela multipler af & före- 

 komma. För att finna dessa utveeklingar, multiplicera vi eqv. (16) med 



V-fF 



I denna produkt gifva vi åt tn värdena 1, *2, 3, . . . o. s. v. och addera 

 summan af de sålunda bildade eqvationerua till den identiska eqvationen 



1 = 1. 

 Införa vi nu beteckniugarne 



UT,, (s, A) = 1 + H, {s, 2) [^J + H. (., 2) (^) + 



så blifver resultatet af de antydda operationerua, med hcänseende till eqva- 

 tionen 



(23) Cü8-*=0 (A)+ (^)£*i^,l2«+ ia)4^^'cos(2«+ m 



-(^J2|X,(2«,A)-^cos2n». 

 Genom ett analogt förfarande finner man ur eqv. (18) 

 (24) sin^^ = — 2;^Ä (2m+ 1, A);? £•('■' ,sin(2« + 1)*— ^2;(Ä:,(2w,,A)iJ,4'„ sin 2m^. 



Funktionerna 0,(A) och K,{s,X) Uro hitintills definierade endast medelst 

 oändliga serier, men vi kunna ganska lätt uppställa andra uttryck för de- 

 samma, hvilka icke allenast vida klarare uppdaga dessa funktioners natur 

 och förhållande till hvarandra, utan äfven för numeriska räkningar äro vida 

 lämpligare än ofvaustående serier. För att erhålla «/>,(A) behöfva vi endast 



7/ — 1 -^j och addera summan af de värden, 



denua produkt erhåller, då för m substitueras talen 1, 2, 3, , till den 



identiska eqvationen 



1 = 1. 



