190 L. Lindelöp. 



Il importe de déterminer aussi les grandeurs et les positions des deux 

 demi-diamètres conjugués OK=^tt, OL^^p (Fig. 1) de cette ellipse. Le pre- 

 mier est la trace du plan sOt sur le plan II, puisque la tangente en L est 

 la trace d'un plan parallèle à sOt. Le demi-axe b étant de même la trace 

 du plan méridien nOt, il s'ensuit que l'angle comiîris entre les droite « et è 

 est le même que l'angle dièdre u formé entre les plans sOt et nOf. Soit v 

 l'angle que le rayon |3 fait avec le petit-axe de l'ellipse, on aura la relation 



tang u tang v = — -r^ , 



qui servira à calculer v, u étant connu. Ajoutons que l'angle v est censé 

 positif, lorsqu'il tombe du mène côte que u du demi-axe b, ou vers le bord 

 éclairé. Connaissant les directions des demi-diamètres « et ß, il est facile 

 de déterminer leurs longueurs; on trouve 



ab b 



ß^ 



j/a^ cos M^ + ö* sin m^ y i _ ga sinw^ 

 ab b 



/a^ cos v^ + b'^ sin «'^ /l — e^smv"^ 



La recherche de l'ellipse intérieure F ou de la courbe de phase consti- 

 tue la partie principale de notre problème. Pour la simplifier autant que 

 possible, nous ferons usage d'une transformation homographique, dont nous 

 allons développer d'abord les principes et les conséquences générales les plus 

 importantes. 



Soit dans un système de coordonnées rectangulaires 



a» "•" c2 ~ 



l'équation de l'ellipsoïde planétaire; si à un point quelconque XYZ on en fait 

 correspondre un autre X'Y'Z' sur le prolongement de l'ordonnée Z, de ma- 

 nière qu'on ait 



x=:Ä', r= r, - z = z', 



c 

 l'équation précédente deviendra 



et l'ellipso'ïde sera transformé en une sphère circonscrite. 



Toute autre figure subira une transformation analogue. Une équation 

 quelconque du premier degré en X, Y, Z donne également une équation du 



