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appartient nécessairement à la moitié de l'ellipse E pour laquelle l'abscisse |, 

 est positive, ce qui prouve que tous les termes de la seconde formule (4) 

 doivent avoir le même signe que 6 et que par suite tous les termes de la 

 première formule doivent avoir le signe opposé. 

 D'un autre côté, en faisant, pour abréger, 



l& ûn(,v~y) 3 



fi« sin (m — y) a 



on déduit de la formule (1) 



a ß a p 



et, en substituant les valeurs de 1,,, ?;„, ^, . r/, tirées des formules (4), 



Ö — m cos ci _ — Ö CÜ6 d' -{- m 



(5) 



ycosd"'+6-^^ yi + 6'' 



En élevant au carré et transposant^ on arrive, toute réduction faite, h l'équa- 

 tion finale 



(6) e^ + ( 1 -f cos rf'2 — «2) 6—2»! eos d' = 0. 



La quantité m, qui dépend uniquement de la direction de la corde, étant con- 

 nue, on peut calculer d'abord lî par cette dernière équation et ensuite |„, ij^, 

 Ij , rji par les formules (4); enfin la longueur même de la corde k s'obtient 

 imr les formules (1). 



L'équation en (i étant du troisième degré admet en g( néral trois racines 

 distinctes. A chaque racine réelle correspond une corde menée entre les 

 points de contact de deux droites parallèles, respectivement tangentes aux 

 ellipses £ et F. On aurait ainsi plusieurs solutions de notre problème; mais 

 leur nombre se réduit nécessairement à une seule, tout au plus, par la cir- 

 constance qu'il ne faut considérer jamais qu'une moitié déterminée de cha- 

 cune des deux ellipses. 



Si le coefficient de ö est positif, deux racines de léquation cubique sont 

 imaginaires. Ainsi cette équation ne peut avoir ses trois racines réelles que 

 si ?«-^> 1 -|- cos d"-^. C'est ce qui résulte immédiatement de la règle des si- 

 gnes de Descartes. 



Pour mieux discuter notre équation (6), nous faisons remarquer qu'on 

 peut l'écrire des deux manières suivantes 



ö(ö2 — «2) _|. (^0 _,„)(! -|-cosrf'2) + ;/«(! — eos (/')■- = 0, 

 6(e2— /Ä2)_j-(0-(-m)(i -J^ cou d' -) — m (1 -{-cosd']^ =0. 



