Süß LES LIMITES ENTRE LESQUELLES LE CATÉNOÏDE 

 EST UNE SURFACE MINIMA 



L. LINDELOF. 



(Lu le 24 Janvier ISJO.) 



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'Ü sait depuis longtemps que la plus petite surface de révolution terminée 

 par deux bases circulaires données est celle qui est engendrée par un arc 

 de chaînette tournant autour de sa directrice, surface à laquelle M. Plateau 

 a donné le nom de catéuoïde. Plus tard on a reconnu que cette propriété 

 de minimum ne lui appartient qu'entre certaines limites. Dans le cas parti- 

 culier où les deux extrémités de la courbe doivent se trouver à distance égale 

 de l'axe, ces limites sont faciles à déterminer. Il suffit de chercher le plus 

 grand rapport qui puisse exister entre labscisse et l'ordonnée d'un point de 

 la courbe. Ce rapport est le même pour toutes les chaînettes et égal à 

 0, (56274 . . . Mais la question devient plus compli(|uée lorsque les bases du 

 caténoïde. ou les ordonnées extrêmes de la courbe génératrice, sont inégales. 

 Nous l'avons traitée, pour la première fois, d'une d'une manière générale dans 

 nos leçons de calcul des varUdions (Paris ISGl); le résultat auquel nous y 

 sommes arrivés, peut se résumer dans les termes suivants: 



La surface engendrée 'par un arc de chamelle lournant aulour de sa 

 direclrice cesse d'avoir une aire minima, dés que le point d'intersection des 

 tangentes extrêmes de la courbe atteint l'axe de révolution. 



Ce résultat est un des plus remarquables qu'on ait pu tirer jusqu'ici d'un 

 examen de la variation seconde, dont l'application est encore restreinte à un 

 très petit nombre de problèmes. Il acquiert une signification matérielle par 

 suite du rapport intime qui existe entre les surfaces minima et les figures 

 d équilibre des fluides soustraites à l'action de la pesanteur, rapport développé 

 par M. Plateau et mis au jour par ses belles expériences. On sait que le 

 caténoïde. ou la surface de révolution à aire minima, y est réalisé eu état 



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