Sur le caténoïde. 355 



et par suite 



+ — = log'' 



a a 



Dans toutes ces formules il faut prendre le signe supérieur ou inférieur, sui- 

 vant que l'abscisse x est positive ou négative. 



Soient .Tj , ?/j et a*., , j/2 les coordonnées de deux points A et ß pris 

 sur la chaînette de part et d'autre du sommet et désignons par 2/ la partie de 

 l'axe des x comprise entre les ordonnées de ces point, on aura 2l=X2 — ^1, 

 ou en substituant les valeur de x^ et .r.,, d'après la formule précédente, 



,n ^ = .oglL±i^ 



Si les ordonnées y,, y.^ sont déterminées et qu'on fasse varier le para- 

 mètre a. la longueur / deviendra fonction de a et Ion pourra se demander 

 quelle est la valeur de a pour laquelle / devient un maximum. Pour résou- 

 dre cette question, nous ditférentions l'équation précédente en regardant a et 



/ comme seules variables et dans le résultat nous faisons ~JZ ~ ^'1 'lous trou- 

 vons ainsi la nouvelle relation 



2/ _ Vi . Vi 



(2) 



« !/;/? — a'^ -\/yl 



O/V 



ür il est facile de voir que , est la valeur générale de la sous-tan- 



gente; la dernière équation exprime donc que la somme des sous-tangentes 

 aux points A et B est égale à la portion de l'axe comprise entre les ordon- 

 nées de ces points, c'est-à-dire que les tangentes aux extrémités de l'arc AB 

 ont leur point d'intersection / situé sur la directrice même, ce qui est con- 

 forme au résultat trouvé dans le calcul des variations. Quant à la surface 

 de révolution décrite par l'arc de chaînette AB, on trouverait sans peine 

 qu'elle est égale à la surface conique décrite par la ligne brisée AIB. 



La valeur de 2/ déterminée par le système des deux équations (1) et 

 (2) mesure la plus grande hauteur d'un caténoïde formé entre deux bases 

 dont les rayons ?/j et i/^ sont donnés. Mais elle détermine aussi, comme 

 nous l'avons vu, la limite à laquelle le caténoïde cesse d'être une surface mi- 

 nima, ou sa limite de stabilité, lorsqu'il est réalisé en état laminaire. Ainsi 

 le caténoïde laminaire qu'on peut former entre deux anneaux quelconques, 



