356 L. Lindelöp. 



ne cesse d'être stable que lorsqu'il cesse d'être géométriquement possible par 

 suite de l'éloignement des bases. 



Si le point d'intersection / des tangentes extrêmes tombe entre la direc- 

 trice et la courbe, on peut construire une seconde chaînette passant par les 

 mêmes points A, B et ayant la même directrice que la première. En effet, 

 soit CD la portion de la directrice interceptée par les prolongements des 

 deux tangentes AI, BI; prenons sur CD un point K et menons les droites 

 KA, KB. Chacune d'elles étant prolongée va évidemment couper la chaî- 

 nette en un second point, au-delà de A et B. Soient Ä et E ces nouveaux 

 points d'intersection. Alors si l'on fait varier le point A' de C à D, le rap- 

 port de la corde AÄ au rayon KA croîtra d'une manière continue depuis 

 zéro jusqu'à une certaine limite «, tandisqne le rapport BB : KB ira en dé- 

 croissant à partir d'une valeur /3 jusqu'à zéro. Il existe dont nécessairement 

 entre C et D une position intermédiaire du point K telle que les deux rap- 

 ports ci-dessus soient égaux et qu'on ait par suite 



lîA' -.KB' =KA:KB. 



Cela posé, concevons qu'en prenant K pour centre de similitude, ou con- 

 struise entre A et B une courbe semblable à l'arc de chaînette ÄB', il est 

 évident qu'on formera ainsi une nouvelle chaînette différente de la première 

 mais ayant comme elle pour directrice la droite CD. On voit aussi que le 

 nouvel arc AB, qui est plus convexe que le premier, ne satisfait point à la 

 condition relative au minimum du caténoïde. Pour le caténoïde limite, c'est- 

 à-dire lorsque le point / se trouve sur la directrice même, les deux courbes 

 se confondent en une seule. 



Nous allons maintenant développer les formules nécessaires pour calcu- 

 ler la hauteur 2/ du caténoïde limite, lorsque les rayons j/j , i/.2 des deux ba- 

 ses sont donnés. Si l'on fait 



(3) yi _ 1 !/^^^L 



a siu (pi a sin çij 



(jPi et (p2 étant des arcs compris entre et 90", les équations fondamentales 

 (1) et (2) se réduisent à celles-ci: 



(4) 



2l_ 



e " = cot -2l cot -^ 



2/ _ 1 1 



a cos qs, cos cp-^ 



