QUELQUES FORMULES RELATIVES A LA COURBURE MOYENNE 

 D'UNE COURBE FERMÉE. 



Par 



L. LINDELÖF. 



(Lu le 19 Avril 1S70.) 







cciipé d'une recherche sur les polyèdres maxima ' j'ai rencontré incidem- 

 ment une expression très-simple de la courbure moyenne d'une courbe plane 

 fermée, qui semble mériter d'être signalée à part avec quelques autres formu- 

 les qui s'y rapportent. Elles résultent dune proposition concernant les poly- 

 gones plans, que je vais rappeler d'abord. 



Soit A une figure plane convexe formée par les côtés rectilignes a^, a^, 

 «3 , . . . Imaginons des plans i?i , B2, B^, . . . menés par chacune de ces arê- 

 tes et faisant avec la face A certains angles intérieurs «j, «2» «35 • • • Con- 

 sidérons des sphères inscrites dans tous ces angles dièdres de manière que 

 chacune d'elles touche trois plans B consécutifs, et désignons par Bi, B^, 

 i?3 , . . . leurs rayons respectifs. Si d un point pris dans le plan de la 

 figure on abaisse des perpendiculaires p^, p^, p^, . . . sur toutes les arêtes 

 a, on aura toujours 



(1) 2;-^ = 2:acot|, 



la somme 2 s'étendant à tous les côtés du polygone A. 



C'est là notre équation fondamentale, pour la démonstration de laquelle 

 nous renvoyons au travail cité. Dans le cas particulier où les angles « sont 

 tous droits, le second membre exprime simplement le périmètre II de la fi- 

 gure et B devient le rayon d'un cercle inscrit tangent à trois côtés succes- 



1 Publiée dans le Bulletin de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, 

 T. XIV, N:o 3. 



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