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sifs. Pour une courbe fermée, considérée comme limite d'un polygone, R se 

 réduit au rayon de courbure q et notre formule devient 



(2) 



f— ds = n, 



J 9 



p étant la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la tangente à l'élément 

 courbe ds. Il est entendu que l'intégrale sera prise le long de la courbe 

 entière. On suppose d'ailleurs que la direction de la tangente varie d'une 

 manière continue, en sorte que la courbe ne présente aucun point saillant ni 

 de rebroussement. 



Ce résultat peut être énoncé en disant que la valeur moyenne du rap- 

 port -- pour la courbe entière est égale à l'unité. D'autre part, en obser- 

 vant que — est la courbure et ^pds un élément de l'aire décrite par le rayon 

 vecteur, on arrive encore à l'énoncé suivant: 



Une figure plane limitée par une courbe continue étant divisée en sec- 

 teurs égaux infiniment petits par des rayons émanés d'un point arbitraire, 

 la courbure moyenne des éléments d'arc ainsi déterminés s'obtient en divi- 

 sant le périmètre entier par le double de l'aire. 



Revenons à l'équation générale (1). Si l'on passe à la limite sans faire 

 aucune supposition particulière sur la valeur de l'angle «, excepté qu'elle va- 

 rie dune manière continue, les plans B formeront une surface développable 

 passant par la courbe, limite du polygone A. Trois plans B consécutifs dé- 

 termineront un cône osculateur de la surface développable et R se réduira au 

 rayon de la sphère inscrite dans ce cône et tangente à la base A. Quant 

 à l'équation (1), elle deviendra 



(3) r|(?.= rcot|^^. 



Il reste à chercher l'expression analytique du rayon R. A cet effet nous 

 rapportons la figure à un système d'axes rectangulaires passant par le point 

 0; nous désignons par x, y les coordonnées d'un point quelconque P de la 

 courbe et par x , y , x" , y" leurs dérivées du premier et du second ordre 

 prises par rapport à l'arc ,v comme variable indépendante. Soient è., 7] les 

 coordonnées de la projection sur le plan A du centre de la sphère, la distance 



Ci 



de ce point {^ij) à la tangente menée par P sera évidemment ^cot^; mais 

 d'autre part elle s'exprimera aussi par {y — vi)x' — {x — ^)y'. Donc si nous 



