Courbure moyenne d\tne courbe fermée, 363 



ce 

 taisons encore, pour abréger davantage, n = cot ^ , u étant par hypothèse 



une fonction continue, nous aurons 



Bu = (î/ — r]) x — {x — I ) y'. 



Cette équation exprime, à proprement dire, que la sphère est touchée par le 

 plan D qui passe par l'élément ds. Pour exprimer qu'elle est touchée aussi 

 par les deux autres plans B infiniment Aoisins, il suffit de différentier deux 

 fois de suite l'équation précédente, en regardant R, | et ■>; comme constantes. 

 Cela donne d'abord 



Multipliant par q et observant que 



Q étant le rayon de courbure, on en déduit 



Différentiant de nouveau et faisant les mêmes substitutions, on trouve 



d\Q- 



ds Q 



En rapprochant cette formule de la première, on parvient à éliminer immé- 

 diatement X — i et 1/ — ïj et l'on trouve 



ds 

 ce qui donne, pour la valeur cherchée, 



ds o 



d\ — 

 1 _ M \ ds 



R Q ds ' 



L'équation (3) devient ainsi 



les intégrales étant, comme précédemment, prises le long du contour entier 

 de la figure. Observons encore que n est ici une fonction ayant une valeur 



