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déterminée en chaque point de la courbe, mais pouvant d'ailleurs varier d'une 

 manière quelconque, pourvu qu'elle reste toujours continue ainsi que sa déri 



vée ^. Pour w = const., la dernière équation se réduit à la formule (2), 

 comme cela doit être. 



Les formules (2) et (4), que nous venons d'établir par des considérations 

 géométriques, peuvent se déduire plus directement et d'une manière bien 

 simple en partant d'une relation générale entre les quantités p et q, que 

 nous allons faire connaître. En conservant les notations précédentes, on 

 trouve 



p — yx—xy. 



Substituant a;' = — ^y" , y'^=^-\-Qoé\ il vient 



p 



— -—XX —yy . 

 Q 



Mais on trouve aussi, en différentiant, 



d{xx' -\-yy') 



ds 



^xx" + yy" + ^ 



on aura donc 



l_P__. à(xx' + yy') 

 Q ds 



et l'on voit déjà qu'on peut arriver à la formule (2) en multipliant par ds 

 et intégrant les deux membres de cette équation entre des limites correspon- 

 dantes au contour entier de la figure. En effet, l'intégrale du second mem- 

 bre se réduit à zéro, parce que les valeurs limites de xx -\-yy' sont iden- 

 tiques, pourvu que od et y' restent continues, c'est-à-dire que la direction 

 de la tangente ne varie jamais brusquement. 



Pour éliminer les coordonnées, nous reprenons la formule jt?=^:r' — a:y, 

 d'où nous tirons par différentiation 



dp „ „ 

 ~ = yx -xy . 



En substituant de nouveau Qx'=A^y', Qy".-=i — x', nous donnons à ce ré- 

 sultat la forme 



dp > , • 

 ^^^:cx+yy . 



