Courbure moyenne d'une courbe fermée. 365 



Cette valeur de xx -\-yy' étant reportée dans la formule précédemment trou- 

 vée, on arrive à lequation différentielle 



"(^f) 



= 1 ^ 



ds Q 



qui est indépendante du choix des coordonnées et exprime une relation géné- 

 rale entre p et q. 



Pour en déduire la formule (4), il suffit de multiplier par uds et inté- 

 grer les deux membres le long de la courbe entière. Le premier membre 

 se réduit alors successivement à 



les termes qui sortent de la portée du signe J' étant nuls à cause de l'iden- 

 tité de leurs valeurs limites. Le reste du calcul est une simple transposi- 

 tion de termes. 



