208 E. A. Stenberg. 



1. dess allmänna integral är en funktion af rationel karakter af va- 

 riabeln x, 



2. dess koefficienter äro dubbelperiodiska funktioner af nämda variabel 

 med fundamentalperioderna 2<a och 2o/, och 



3. endast i » = ocb härmed kongruenta ställen kunna dess koefficienter 

 blifva oändliga. 



1. I följd af denna definition måste den Hermite'ska differentialeqvationen 

 af andra ordningen enligt Fuchs' undersökningar hafva formen 



1) y" — a + n (n + l) p{pc) 



y = o, 



der a är en konstant och n ett positivt helt tal. Å andra sidan är denna 

 differentialeqvation alltid en Hermite'sk af andra ordningen, hvilket konstant 

 värde än a har, och hvilket helt positivt tal än n är, ty det enda vilkor 

 en differentialeqvation af andra ordningen, livars koefficienter motsvara be- 

 stämningarna 2 och 3 här ofvan, är underkastad för att den skall vara en 

 Hermite'sk, är att den skall hafva en entydig integral. Har den nemligen 

 det, så har den ock, enligt Picard's och Mittag-Leffler's undersökningar 1 ), 

 en partikulär integral y lt som är en dubbelperiodisk funktion af andra slaget 

 af a; och som således i# = och härmed kongruenta ställen måste blifva oänd- 

 lig. Häraf följer att dx är regulär i dessa ställen, och följaktligen är 



J y\ 



den allmänna integralen, som kan skrifvas 



c , y, + c * V, f— dx i 



Jy, 



en funktion af rationel karakter, ty i alla öfriga ställen måste denna på grund 

 af koefficienternas i differentialeqvationen beskaffenhet, vara regulär. Af ofvan- 

 stående synes ock att y x endast har nollställen af första ordningen. 



2. På grund af Haephen's undersökningar rörande differentialeqvationer 

 med dubbelperiodiska koefficienter 2 ), har den Hermite'ska differentialeqvationen 

 af andra ordningen ett fundamentalsystem af integraler Fjx) och Fj(x), hvilka 

 hafva egenskaperna 



') Picard, Sur une généralisation etc. Comptes rendus de l'académie des sciences de Paris. 

 21. Juillet 1879. Picard, Sur une classe d'équations différentielles linéaires. Comptes rendus etc. 

 19. Janvier 1880. Mittaq-Leffler, Sur les équations différentielles linéaires à coefficients doublement 

 périodiques. Comptes rendus etc. 16. Février 1880. 



2 ) Halphen, Mémoire sur la réduction des équations différentielles linéaires aux formes inté- 

 grales. Paris 1883. 



