Ben Her mite' ska differentialeqvationen af andra ordningen. 209 



FXx + 2a>) = (., F» F 2 (a + 2o 5 ) = ,«, F,(*) + c F» 

 *> + 2a,') = v, F,(.t) F> + 2«') = v, FJ(x) + cF^x), 



der ft x , 4 « 2 , i',, r 2 , c, c' äro vissa konstanter, af hvilka c och c samtidigt äro 

 noll, om åtminstone en af likheterna 



icke eger rum. Att detta också är det enda fall då c och c' kunna vara 

 noll, synes deraf att eqvationen (1) bör hafva åtminstone en integral C^F^x) -\- 

 C^F^x), som är regulär i hvarje ändlig punkt och således ej kan vara dub- 

 belperiodisk. 



Ofvanstående jemfördt med den omständigheten, att såsnart F x (x) är en 

 integral till differentialeqvationen i fråga, äfven F t (—x) är det, föranleder föl- 

 jande slutsats: 



den Hermite'ska differentialeqvationen af andra ordningen har alltid då 

 ett fundamentalsystem af integraler F y {x) och F^(x), hvilka äro dubbelperio- 

 diska af andra slaget med perioderna 2m och 2c/, när icke samtidigt 



f. 



1 och i." = 1. 



Äro åter samtidigt ft° = 1 och v] = 1 så har differentialeqvationen i fråga 

 icke något fundamentalsystem af integraler, der mer än ett element vore en 

 dubbelperiodisk funktion af andra (eller första slaget) med perioderna 2gj 

 och 2 a,'. 



Detta följer deraf att determinanten 



F 1 (x) F 2 (x) 



*"» K(*) 



bör vara en konstant. 



Jag kommer till först att sysselsätta mig med det senare fallet, och då 

 härvid, emedan F,(— x) = G F t {x) och således Fj(x) = G* F^x), F y (x) är en 

 jemn eller en udda funktion allt efter som n är ett jemnt eller udda tal, vill 

 jag särskildt behandla hvartdera af dessa specialfall. 



3. Låt således till först 



n — 2r, 



der r är ett positivt helt tal > 0. 



Om differentialeqvationen (1) i detta fall bar en integral F x (x) som är 



