212 E. A. S T E N B E M G. 



5. Jag går nu att undersöka när differentialeqvationen (1) har en inte- 

 gral F,(x) som är en dubbelperiodisk funktion af andra slaget med perioderna 

 2a och 2n/ och de multiplicerande faktorerna 1,-1; —1,-1 eller —1,1; 

 hvarvid det enligt § 2, likasom i föregående fall, icke i något fundamental- 

 system af integraler kan ingå mer än ett element, som är en dubbelperiodisk 

 funktion. 



En sådan funktion F^x) kan skrifvas 1 ) 



+(-rr~-fr ) (x) 



der 2 ) 



och r är ett af talen 1, 2, 3. 



Derivatorna af funktionen f v {x) hafva följande egenskaper: 

 a) hvarje jemn derivata / ( V (a?) är så beskaffad, att produkten 



f v {x)fy{ X ) 



är en hel algebraisk funktion af (fi + l):te graden af p(x), som 

 försvinner för p(x) = e„, och 



i) hvarje udda derivata f^ +i) (x) är så beskaffad, att produkten 



fjx) f^ \x) 

 P (*) 

 är en hel algebraisk funktion af ;<:te graden af p(x). 



Jag låter åter 



n = 2r. 

 Emedan f v (x) är en udda funktion, har på grund af hvad i § 2 sagts 

 F^x) formen 



') Hermite, Sur quelques applications des fonctions elliptiques. Comptes rendus etc. 15. Oct. 

 1877. 



2 ) Rörande dessa formler se Schwarz, Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen 

 Functionen. 



