216 



E. A. Stenberg. 



7. Sedan jag numera framstält de vilkor la (för n = 2r) och Ib (för 

 n = 2r i- 1), hvilka konstanten a bör satisfiera i det fall, att differentialeqva- 

 tionen (l) har en dubbelperiodisk integral af första slaget med perioderna 

 2oj och 2a, såväl som de vilkor Ila (för n = 2r) och IIb (för »•= 2r + 1) 

 dem a är underkastad, för att differentialeqvationen i fråga skall hafva en 

 dubbelperiodisk integral af andra slaget med samma perioder och de multipli- 

 cerande faktorerna 1, -1; - 1, -1 eller - 1, 1 samt nppstält de system 

 (3), (5) för det förra och (8) och (11) för det senare fallet, medels hvilka 

 en integral F^x) bestämmes, vill jag i sammanhang härmed uppsöka en me- 

 tod att framställa en annan integral Fj(x), som jemte F^(x) kunde utgöra ett 

 fundamentalsystem af integraler till den nämnda differentialeqvationen. Om 

 jag låter (i och v vara de multiplicerande faktorerna för F^(x) sålunda att 



F l (x + 2w) = iiF l (z) 



bör funktionen F 2 (x) hafva egenskapen 



F,(x + 2a>) = ll F % (x) + cF l (x) 



F i (x + 2a) = vF l (z), 



FXx + 2o } ') = vF 2 (x) + c'FXxl 



der c och c äro vissa konstanter, hvilka icke samtidigt äro noll. 

 Skrifver jag nu 



12) 



&(z) = 



FXx) 



ö = 



d. = 



W{x) = 6x + d 



d\x)_ 

 6(x) 



och 



tfz) = *(x) - <F(x), 



så är ij)(x) en dubbelperiodisk funktion af första slaget med perioderna 2<a 

 och 2o/, hvilken på grund deraf, att F 2 (x) endast i x — och härmed kon- 

 gruenta ställen kan blifva oändlig och då af samma ordning som F^(x), och 

 dessutom F^x) endast har nollställen af första ordningen (se § 1), har ut- 

 seendet : 



ö'(x) %=-" 6'(x-cc Q ) 



