222 E. A. Stenberg. 



och 



22) F'[{x) - f« + n (n + \)p (x)] F£x) = -Sî - -£- + -^r 



• • + H-^ + (- O" % + (- 1)" +1 G n+2 +■ • • 



H— 2 



Här äro C,, C 3 , 6' 5 • • så beskaffade, att de försvinna, då c, = c 3 = c å = -- =0, 

 hvaremot de öfriga koefficienterna hafva utseendet 



2.°)) C, 9 = «<?_, + a 9 _n Cg + a ? _ 3 c 4 H 1- «, c 29 _ 4 + a c 2Q ^., + 2q (2w -2^+1) Co y . 



De dubbelperiodiska funktionerna af andra slaget, d. v. s. de funktioner, 

 som hafva egenskapen 



F(x + 2a) = &* F(x) F(x + 2gj') = cfi'F(x), 



sönderfalla i två väsendtligt skilda grupper, af hvilka den ena omfattar dem, 

 hvilkas multiplicerande faktorer äro sådana, att det icke finnes några hela tal 

 v och v, som göra 



(0(i — a (i = 2ni (/'ra + v ca), 

 och den andra dem, hvilkas multiplicerande faktorer hafva egenskapen 



of«,' — ra'(< = 2ni (vos + r'ra'), 



der v och v äro vissa hela tal. 



En funktion, som hör till den förra gruppen och icke har något oänd- 

 lighetsställe, är = 0. 



En funktion, som hör till den senare gruppen och inom periodparallelo- 

 grammen endast har ett oändlighetsställe och detta af första ordningen, är en 

 enkelperiodisk funktion af formen Ce Xx ; den försvinner identiskt, om den der- 

 jemte har ett nollställe. 



På grund häraf är funktionen F t (x) en integral till differentialeqvationen 

 (1) såsnart den är en dubbelperiodisk funktion af andra slaget, som endast i 

 x = och härmed kongruenta ställen blir oändlig och hvars koefficienter i ut- 

 vecklingen (20) uppfylla ettdera af följande vilkor: 



1) om F^x) hör till den förra af ofvan nämda grupper: 



24) C I = ö, = C,=-=CL=CUt = 



och 2) om F^x) hör till den senare gruppen: 



