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doit conserver sa valeur. Or, dans cette operation, I change de signe. L'inté- 

 grale 



C _ / dr dr d*r \ 



i F [ r >Ts>ds' , -dToV) ds 



doit donc changer de signe lorsqu'on renverse le sens dans lequel est compté 

 l'arc s. 



Appliquons cela en particulier à un contour fermé formé par un segment de 

 ligne parcouru successivement dans un sens et dans l'autre. L'opération pré- 

 cédente ne peut évidemment dans ce cas changer l'intégrale; or elle change 

 son signe; donc l'intégrale est identiquement nulle. Il en résulte immédiatement 



(dr dr d""r \ 

 r, -j-j TT» -, > ' ) change de signe si Von renverse le sens soit 



de Vêlement ds, soit de Vêlement ds'. 



Supposons qu'on trace une ligne entre deux points du circuit considéré ; 

 on décomposera ainsi le circuit primitif en deux circuits partiels, et il est 

 aisé de voir que l'intégrale 



Çp( dr ^L d * r \s 



J \ ' ds' ds" ds ds ) 



étendue au circuit primitif est la somme des intégrales analogues relatives aux 

 deux circuits partiels supposés décrits l'un et l'autre dans la même sens que 

 le circuit primitif. 



En répétant une infinité de fois la décomposition précédente, on rempla- 

 cera l'intégrale considérée par une somme d'intégrales analogues relatives à 

 des contours infinement petits. 



Lorsqu'on passe d'un circuit élémentaire au circuit élémentaire voisin, si 

 l'on suppose que la forme de ces circuits varie d'une manière continue, l'inté- 

 grale 



r i dr dr d 2 r \ 

 J \ ; ds' ds" ds ds' j 



devra aussi varier d'une manière continue. 



De ces quelques remarques on peut déduire une propriété fondamentale 

 de l'intégrale en question. Si la fonction F était une fonction quelconque, 

 l'intégrale que nous considérons serait en général un infinement petit du même 

 ordre que le contour de l'élément. Nous allons montrer au contraire que la 

 fonction F est telle que Vintégrale 



