Applications de la Tfiertnodynamique. 245 



dr dr d*r 



j F ( r > i Js" teh) ds > 



étendue à un contour infiniment petit, soit tin infiniment -petit du second ordre 

 par rapport à la longueur de ce contour, c'est à dire un infiniment petit du 

 même ordre que faire d'une surface terminée à ce contour. 



Supposons en effet que pour un certain contour infiniment petit cette in- 

 tégrale ait un signe déterminé et soit une quantité infiniment petite d'un ordre 

 déterminé; il sera alors possible, autour de l'élément considéré, de tracer une 

 aire finie telle que la même intégrale, étendue au contour de chacun des élé- 

 ments de cette aire, ait le même signe et soit du même ordre infinitésimal 

 que l'intégrale étendue au premier contour. Dès lors, si toutes ces intégrales 

 n'étaient pas des infiniment petits au plus du même ordre que les aires des 

 éléments auxquels elles se rapportent, leur somme serait infinie, ce qui n'est 

 pas possible, puisqu'elle doit représenter l'intégrale 



dr dr d'r 



r i dr or ô'r \ 



J F ( r 'Ts , ds- t 'dYd7) ds 



étendue au contour de l'aire limitée que nous avons tracée 1 ). 



Le résultat précédent fournit la forme générale de la fonction F au 

 moyen d'un raisonnement déjà employé par M. Bertrand 2 ) dans l'étude d'une 

 question analogue. 



Les relations: 



r*=(x'-xy+(y'-y)*+(z'-zy 



dr x — x' dx y — y dy z — z dz 



ds ~~ r ds r ds r rfs' 



dr x'—x dx' y— y dy z' — z dz' 



as' ' r ds' r ds' r ds'' 



d % r \ix'—xdx y'—ydy s '— z dz\ ix '— x dx y'—ydy' z'—zdz' 



i / x — x ax y —y dy z — z dz\ /x — x dx y — y dy z — z dz \ 

 7 = r [ ,. tfs + r J s + r j s j \~ r 07 + r ds' + ~r~~ ds) 



ds ds 



l / dx dx' dy dy dz dz \ 

 r \ds ds' ds ds' ds ds' ) 



permettent de donner à l'intégrale 



') Voir la note à la fin. 



2 ) J. Bertrand, Sur la Démonstration de la Formule qui représente l'Action Elémentaire de 

 deux courants. Comptes Rendus. T. LXXV, p. 733. 1872. 



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