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jede nur eine Unendlichkeitsstelle im Periodenparallelogramm, müsste die eine 

 der Functionen in x = a t eine solche von der n^.tcn Ordnung und in x — « 2 

 eine Nullstelle von der (m 2 + l):ten Ordnung, und die andere in x = «, eine 

 Nullstelle von der (w, + l):ten Ordnung und in x = « 2 eine Unendlichkeitsstelle 

 von der Ordnung w 2 haben, welches aber das gleichzeitige Erfüllen der Be- 

 dingungen : n 1 > n 2 + 1 und n 2 > w, + 1 erfordert und somit unmöglich ist. 



Im zweiten Falle dagegen kann es vorkommen, dass die Function t\(x) 

 nur die eine Unendlichkeitsstelle x = «, im Periodenparallelogramme hat, wenn 

 nämlich n i > w 2 ist. 



2. Wenn die Differentialgleichung (1) ein partikuläres Integral y t hat, 

 welches eine eindeutige, doppeltperiodische Function erster oder zweiter Gat- 

 tung mit den Fundamentalperioden 2oj, 2ca' ist und in x = «, unendlich von 

 der w,:ten, in x = tx 2 unendlich von der » 2 :ten Ordnung wird, so ist das all- 

 gemeine Integral der genannten Differentialgleichung eindeutig. 



r ] 



Dann ist nämlich -? dx eindeutig in der Umgebung jedes Punktes, der 

 J Vi 

 einem der Punkte x — a i und x = « 2 congruent ist, woraus folgt, dass das 



allgemeine Integral c y l + c y l , dx überall eindeutig ist. 



J Vi 



Wird die Differentialgleichung (l) in dem Falle dass n l > n„ ist von einer 

 doppeltperiodischen Function y x mit den Fundamentalperioden 2gj, 2g>' integrirt, 

 deren multiplicirende Factoren (t, v den Bedingungen ;t 2 = v~ = 1 genügen und 

 welche in x — k, eine Unendlichkeitsstelle »^ten Ordnung hat, so ist dennoch 

 das allgemeine Integral eindeutig. 



Es müssen nämlich in den Entwickelungen 



\ k k 



Y\ = {^^f + x~^f 9 + *" + k «< & ~ ^ + " ' 



( 9 = 1,2 ■■■r) 



— wenn a a , p\, ß 2 , ■ ■ ■ ß r ein vollständiges System von incongruenten Null- 

 stellen der Function y l bilden — sämmtliche Grössen k Q2 gleich Null sein, da 

 1 



J* 



. dx höchstens in der Umgebung des Punktes x = k 2 mehrdeutig sein kann. 



y \ 



Hieraus folgt aber, weil — s eine elliptische Function ist, dass auch in der 



y i 



Entwickelung 



