Darstellung sämmtlicher Differentialgleichungen. 337 



1 1 ", -"„+1 



2 7 \ •>„ 4-2 7 \2n -4-1 ~ T~ ™2n 4-2 "T" 



der Coefficient fc ÏB +J gleich Null sein muss. 



3. Es ist somit nachgewiesen, rfass d«e Differentialgleichung 



y"-yP(,) = 0, 



wenn P(x) eine doppeltperiodische Function erster Gattung mit den Fundamental- 

 perioden 2o, 2o' ist, welche nur in x = «,, x = a a «wrf den mit diesen congruenten 



Stellen unendlich wird, immer und nur dann ein eindeutiges allgemeinen Inte- 

 gral hat, wenn sie von einer doppeltperiodischen Function erster oder zweiter 

 Gattung mit den Fundamentalperioden 2a, 2m' integrirt wird, welche entweder 

 sowohl in x = a 1 wie in x = « 2 oder auch nur in einem dieser Punkte unend- 

 lich wird, wobei im letzteren Falle ihre nmltiplicir enden Factor en ( «, v den 

 Bedingungen j< 2 = v* = 1 unterworfen sind. 



In der vorliegenden Untersuchung werde ich die Gruppe von Differential- 

 gleichungen, welche in der Form 



2) y" - a + a t - (x - «,) —a i — (x - a t ) + n {n + 1) (p (x - «,) 



+ p(x-aj) 



y = 



enthalten ist, behandeln. Bei diesen Gleichungen kann laut § 1 nur der 

 erstere der oben genannten Fälle eintreten. 



Die nothwendige und hinreichende Bedingung, welcher der Gleichung (2) 

 genügen muss, damit ihr allgemeines Integral eindeutig sei, besteht also darin, 

 dass sie von der Function 



•^V_i)« d* r 



lx + y 'TZ — ^e Ci, n-i-9 f(n - «i) + <h, n-i-g f(x - «0 



p=0 



integrirt werden soll, wo c, c hH _ u c h „_ z - ■ ■ c 1>0 , c 2 ,„_i, c 2iK _ 2 , • • • c 2i0 gewisse 

 Constanten sind, uud f(x) entweder die Function 



6(x-a) ( l + j(«i)- 

 ~ e(«) ö(x) 



oder 



